第二章 2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 [对应学生用书P38] 1. 一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般 形式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 (1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数． (2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且二次项的系数不为0. a2b＋2ab2＋9＞0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？ 答案：可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式． (多选) 下列不等式是一元二次不等式(其中a，b，c为常数)的有( AB ) A．x2＞0　　　　　　　　　 B．－x－x2≤5 C．x3＋5x－6＞0 D．x2－5y＜0 2．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 二次函数y＝x2－4的零点是什么？ 答案：令y＝x2－4＝0，解得x＝±2，所以二次函数y＝x2－4的两个零点是x1＝2和x2＝－2. 3. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ (1)三个“二次”关系的实质可结合数形结合的思想进行解读：ax2＋bx＋c＝0的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标；ax2＋bx＋c＞0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合． (2)三个“二次”的关系如下图 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(1，0)与(3，0)两点，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是否确定？若确定，求其解集；若不确定，请给出一个条件，使其解集为确定的． 答案：不确定． 由二次函数的图象与一元二次不等式的解集的关系可知，当a＞0时，ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}； 当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}． 故只需要给a一个不为0的具体值或给定a的符号，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集就能确定． (1)不等式2x2－x－1＞0的解集是； (2)不等式－x2－x＋2＞0的解集是{x|－2＜x＜1}． [对应学生用书P39] 知识点一　一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)－x2＋7x＞6； (2)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)； (3)(2－x)(x＋3)＜0. 解：(1)原不等式可化为x2－7x＋6＜0，解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1＜x＜6}． (2)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝..结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为 (3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为2和－3，结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}． 解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)； (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根； (3)画出相应二次函数图象的示意草图，方程有根的将根标在图中； (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 解下列不等式： (1)－3x2＋6x≤2； (2)4x2－4x＋1＞0； (3)－x2＋6x－10＞0. 解：(1)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝..作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图①，由图可得原不等式的解集为，x2＝ (2)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝..作