突破1.5 全称量词与存在量词（重难点突破）-【新教材优创】突破满分数学之2021-2022学年高一数学重难点突破+课时训练（人教A版2019必修第一册）

突破1.5 全称量词与存在量词 一、考情分析 二、经验分享 1．全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)． 2．含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 三、题型分析 重难点1 全称命题与存在命题真假的判断 例1．（1）（2021·全国高三专题练习）（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有 A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数 ，使 【答案】AC 【分析】 通过原命题的否定为全称量词命题且为真命题，确定原命题是特称量词命题且为假命题，根据此结论逐项分析. 【详解】 由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD； 又因为 ， ，所以AC均为假命题， 故选AC. 【点睛】 （1）含一个量词的命题的否定方法：改变量词，否定结论； （2）常见的：含有全部、都、所有等词时，对应的是全称命题；含有存在、有一个等词对应的是特称命题. （2）．（2020·益阳市第十五中学高一月考）（多选题）下列说法正确的是（ ） A．命题“ ， ”的否定是“ ， ” B．命题“ ， ”的否定是“ ， ” C．“ ”是“ ”的必要而不充分条件 D．“ ”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件 【答案】BD 【分析】 A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断. 【详解】 解：A.命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故错误； B.命题“ ， ”的否定是“ ， ”，正确； C. ， 不能推出 ， 也不能推出 ，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故错误； D.关于 的方程 有一正一负根 ，所以“ ”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件，正确， 故选：BD. 【点睛】 本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题. 【变式训练1-1】．（2020·江苏省西亭高级中学高三月考）（多选题）下列命题正确的是（ ） A．“ ”是“ ”的充分不必要条件 B．命题“ ， ”的否定是“ ， ” C．设 ，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件 D．设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】 对于ACD项，根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的包含关系进行判断即可． 对于B项，根据存在量词命题的否定形式可判断. 【详解】 A.若“ ”，则 或 “ ”是“ ”的充分不必要条件. B.根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，B正确. C.设 ，若“ 且 ”，则“ ” 若 ，不一定有 且 ，比如 也可 “ 且 ”是“ ”的充分不必要条件. D. 若 ，不一定有 若 ，则一定有 “ ”是“ ”的必要不充分条件. 【点睛】 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 ， 【变式训练1-2】．（2020·衡阳县第四中学高三月考）下列说法中正确的是（ ） A．“ ”是真命题是“ ”为真命题的必要不充分条件 B．命题“ ， ”的否定是“ ， ” C．若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真 D．设 ，则“ 或 ”是“ ”的充分不必要条件 【答案】BC 【分析】 对于A，“ ”是真命题，则 真且 真；“ ”是真命题，则 至少一个为真；对于B，利用全称量词命题的否定可知正确；对于C，一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假；对于D，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件，故错误． 【详解】 对于A，“ ”是真命题，则“ ”一定为真命题，“ ”是真命题，则“ ”不一定为真命题，错误； 对于B，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，正确； 对于C，一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假，正确； 对于D，“ 或 ”是“ ”的充分不必要条件的逆否命题为“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件，错误； 故选：BC 【点睛】 本题考查了命题真假的判定