突破1.2集合间的基本关系（重难点突破）-【新教材优创】突破满分数学之2021-2022学年高一数学重难点突破+课时训练（人教A版2019必修第一册）

突破1.2 集合间的基本关系 一、考情分析 二、经验分享 1．子集 （1）子集的概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 （或 ），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示A B如图所示： （2）子集的性质 ①任何一个集合是它自身的子集，即 ． ②传递性，对于集合 ， ， ，如果 ，且 ，那么 ． 2．真子集 （1）子集的概念 如果集合 ，但存在元素___________，我们称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ）． 如果集合 是集合 的真子集，在Venn图中，就把表示 的区域画在表示 的区域的内部．如图所示： （2）真子集的性质 对于集合 ， ， ，如果 ， ，那么 ． 辨析：子集与真子集的区别：若 ，则 或 ；若 ，则 ． 3．集合相等 如果集合 是集合 的___________（ ），且集合 是集合 的___________（ ），此时，集合 与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 ．用Venn图表示 如图所示． 4．集合相等 （1）．空集的概念 我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作 ，并规定：空集是任何集合的子集． （2）．空集的性质 （1）空集是任何集合的___________，即 ； （2）空集是任何非空集合的___________，即 ． 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【知识拓展】 1． 若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2.奇数集： . 三、题型分析 (一) 求集合的子集和真子集 （1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析， 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B． （2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断． 例1．（1）（2021·上海高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】 先求得集合 ，判断出 的关系，由此确定正确选项. 【详解】 N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B. 故选：B （2）．（2021·浙江高一期末）已知集合 ，则 的子集有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】 根据集合子集的个数计算公式求解. 【详解】 因为集合 共有 个元素，所以子集个数为 个. 故选：D. 【变式训练1-1】．（2021·上海高一专题练习）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（　　） A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1 【答案】D 【分析】 对 进行分类讨论，结合 求得 的值. 【详解】 A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时， ，满足B⊆A；当a≠0时，B= ，因为B⊆A，所以 =1或 =-1，即a=±1. 综上所述，a=0或a=±1. 故选：D 【变式训练1-2】．（2021·上海高一专题练习）已知集合 ，则 =（ ） A． 或 B． 或3 C．1或 D．1或3 【答案】B 【分析】 利用集合的包含关系可得 或 ，求出 ，再根据集合的互异性即可求解. 【详解】 因为集合 ， ，且 ，所以 或 ， 若 ，则 ，满足 ； 若 ，则 或 ， 当 时， ，满足 ； 当 时，集合A中元素不满足互异性，舍去， 故选：B. 【变式训练1-3】．（2020·贵州省铜仁第一中学高一期中）已知集合 ，3， ， ， ，若 ，则实数 __. 【答案】1或3 【分析】 利用子集关系 可知， 或 ，求出 再验证即得结果. 【详解】 解： ， ， 或 ， 解得， 或 或 ， 将 的值代入集合 、 验证，知 不符合集合的互异性， 故 或3. 故答案为：1或3 例2．（2021·上海高一专题练习）设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则（　　） A．M(N B．N(M C．M∈N D．N∈M 【答案】A 【分析】 根据集合 元素的特征确定正确选项. 【详解】 对于集合N，当n＝2k时，x＝4k＋1（k∈