突破1.1集合的概念（重难点突破）-【新教材优创】突破满分数学之2021-2022学年高一数学重难点突破+课时训练（人教A版2019必修第一册）

突破1.1 集合的概念 一、知识结构网络 二、知识点梳理 【知识点一、集合的概念】 1．集合与元素 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母 表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母 表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系 如果 是集合 的元素，就说 属于集合 ，记作___________；如果 不是集合 中的元素，就说 不属于集合 ，记作___________． 注意： 与 取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A， 与 这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征 （1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准． （2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． （3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【知识点二、常用的数集及其记法】 1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作 或 ； 3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z； 4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q； 5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R． 易错点： 为非负整数集（即自然数集），包括0，而 表示正整数集，不包括0，注意区分． 【知识点三、集合的表示方法】 1．列举法 把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性． （2）“{}”含有“所有”的含义，因此用 表示所有实数是错误的，应是 ． 2．描述法 用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________． 说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 3．Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 三、题型分析 重难点1 集合的概念 判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象． 【名师点睛】 集合中元素的三个特性： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的． （3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变． 判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准． 例1．（1）（2020·江苏高一课时练习）能够组成集合的是（ ） A．与2非常数接近的全体实数 B．很著名的科学家的全体 C．某教室内的全体桌子 D．与无理数π相差很小的数 【答案】C 【分析】 由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可 【详解】 解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合； B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合； C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合； D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合. 故选：C. (2)．（2020·江苏高一课时练习）下列判断正确的个数为（ ） （1）所有的等腰三角形构成一个集合； （2）倒数等于它自身的实数构成一个集合； （3）质数的全体构成一个集合； （4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 利用集合的定义和特点逐一判断即可. 【详解】 在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故