4.1 数学归纳法-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 用数学归纳法证明不等式 测试内容：数学归纳法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.了解数学归纳法的原理及其使用范围．(重点)2.会利用数学归纳法证明一些简单问题．(重点、难点) 初次测验 教材整理　数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当n＝n0时命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 1.数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　　) A．k∈N　　　　　 B．k＞1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D．k＞2，k∈N＋ 题型一：用数学归纳法证明等式 【例1】　用数学归纳法证明： 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 练1．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 题型二：用数学归纳法证明整除问题 【例2】　用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)． 练2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 题型三：证明几何命题 【例3】　平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论． 练3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明． 题型四：数学归纳法的概念 [探究问题] 1．数学归纳法中，n取的第一个值n0是否一定是1? 2．如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？ 【例4】　用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是(　　) A．1　　　　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 练4．当f(k)＝1－＋－＋…＋－，则f(k＋1)＝f(k)＋________. 课堂小测 1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)· (2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为(　　) A．1　　　　　　　 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有(　　) A．当n＝4时，该命题成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝6时，该命题不成立 3．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． 4．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”时，若n＝1，则左端应为________． 5．用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an－1＝(a≠1，n∈N＋)． $高中数学 选修4-5 用数学归纳法证明不等式 测试内容：数学归纳法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 一　数学归纳法 学习目标：1.了解数学归纳法的原理及其使用范围．(重点)2.会利用数学归纳法证明一些简单问题．(重点、难点) 初次测验 教材整理　数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当n＝n0时命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 1.数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　　) A．k∈N　　　　　 B．k＞1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D．k＞2，k∈N＋ C　[数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.] 题型一：用数学归纳法证明等式 【例1】　用数学归纳法证明： 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. [精彩点拨]　要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并． [自主解答