3.1 二维形式的柯西不等式-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 柯西不等式与排序不等式 测试内容：二维形式的柯西不等式 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点) 初次测验 教材整理　二维形式的柯西不等式 内容 等号成立的条件 代数 形式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 当且仅当ad＝bc时，等号成立 向量 形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β| 当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立 三角 形式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥ 当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等号成立 1.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 题型一：二维柯西不等式的向量形式及应用 【例1】　已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2. 练1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 题型二：运用柯西不等式求最值 【例2】　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． 练2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点． 题型三：二维柯西不等式代数形式的应用 [探究问题] 在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成＝吗？ 【例3】　已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1. 练3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2. 课堂小测 1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为(　　) A.　　　　　　　　 B．169 C．13 D．0 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　) A．2 B. C．6 D．12 3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________. 4．已知x，y＞0，的最小值为4，则xy＝________. 5．已知x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求x＋y的最小值． $ 高中数学 选修4-5 柯西不等式与排序不等式 测试内容：二维形式的柯西不等式 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点) 初次测验 教材整理　二维形式的柯西不等式 内容 等号成立的条件 代数 形式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 当且仅当ad＝bc时，等号成立 向量 形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β| 当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立 三角 形式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥ 当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等号成立 1.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. B　[2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥ ＝(x＋y)2＝.] 题型一：二维柯西不等式的向量形式及应用 【例1】　已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2. [精彩点拨]　为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． ＝·＝. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， ∴≤p2＋q2≤， ∴≤·，则(p＋q)4≤8(p＋q)． 又p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2. 使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝对数学式子变形的影响． 练1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ [解]　设m＝(p，q)，n＝(1,1)， 则p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝·. 又p2＋q2＝2. ∴p＋q≤·＝2. 故仍有结论p＋q≤2成立. 题型二：运用柯西不等式求最值 【例2】　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． [精彩点拨]　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题． [自主解答]　由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1. ∴4x2＋9y2≥， 当且仅当2x×1＝3y×1， 即x＝，y＝时取等号． ∴4x2