2.1 比较法-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 证明不等式的基本方法 测试内容：比较法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点)3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点) 初次测验 教材整理1　作差比较法 1．理论依据：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0. 2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0，这种方法称为作差比较法． 3．步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论． 1.若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则(　　) A．ω＞u　　　　　 B．ω＜u C．ω≥u D．无法确定 教材整理2　作商比较法 1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔＞1；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1. 2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明＞1，这种方法称为作商比较法． 3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论． 2.下列命题： ①当b＞0时，a＞b⇔＞1； ②当b＞0时，a＜b⇔＜1； ③当a＞0，b＞0时，＞1⇔a＞b； ④当ab＞0时，＞1⇔a＞b. 其中真命题是(　　) A．①②③ B．①②④ C．④ D．①②③④ 题型一：作商比较法证明不等式 【例1】　已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞. 练1．已知m，n∈R＋，求证：≥. 题型二：比较法的实际应用 【例2】　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ 练2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？ 题型三：作差比较法 [探究问题] 作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？ 【例3】　已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 练3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 课堂小测 1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(　　) A．t＞s　　　　　　　　 B．t≥s C．t＜s D．t≤s 2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(　　) A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．大小不确定 3．设a，b，m均为正数，且＜，则a与b的大小关系是________． 4．设a＞b＞0，x＝－，y＝－，则x，y的大小关系是x________y. 5．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. $高中数学 选修4-5 证明不等式的基本方法 测试内容：比较法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点)3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点) 初次测验 教材整理1　作差比较法 1．理论依据：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0. 2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0，这种方法称为作差比较法． 3．步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论． 1.若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则(　　) A．ω＞u　　　　　 B．ω＜u C．ω≥u D．无法确定 C　[∵ω－u＝x2－xy＋y2＝＋≥0，∴ω≥u.] 教材整理2　作商比较法 1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔＞1；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1. 2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明＞1，这种方法称为作商比较法． 3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论． 2.下列命题： ①当b＞0时，a＞b⇔＞1； ②当b＞0时，a＜b⇔＜1； ③当a＞0，b＞0时，＞1⇔a＞b； ④当ab＞0时，＞1⇔a＞b. 其中真命题是(　　) A．①②③ B．①②④ C．④ D．①②③④ A　[由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，＞1与a＞b不等价，④错．] 题型一：作商比较法证明不等式 【例1】　已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞. [精彩点拨]　 → →→ 1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式． 2．运用a＞b⇔＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论． 练1．已知m，n∈R＋，求证：≥. [证