2.1 等式性质与不等式性质（同步课件）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 人教A版2019 必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式．接着，就可以用不等式研究相应的问题了． 问题2 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围． 如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆” 分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法． 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么，不等式到底有哪些性质呢？ 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究中获得启发． 思考 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性． 类比等式的性质1，2，我们可以猜想不等式有如下性质： 这就是说，不等式两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向． 从不同角度描述不等式的性质，可以加深理解．对其他不等式的性质，你能用文字语言表述吗？ 这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向． 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质．例如，利用性质2，3可以推出： 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据 $