第11讲 解直角三角形的应用-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第11讲 解直角三角形的应用 知识一、仰角俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【例1】（1）（2020·上海九年级专题练习）如图，在点处测得点处的仰角是_____．（用“或”表示） 【答案】∠4 【解析】 由仰角的定义：在点A处测得B处的仰角是∠4； 故答案为∠4． （2）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知A，B两点，若A对B的仰角为α，则B对A的俯角为(　 　) A．α B．90°－α C．180°－α D．90°＋α 【答案】A 【解析】 解：如图， ∵A对B的仰角为α， ∴B对A的俯角为α． 故选A． 【例2】（2021·上海九年级专题练习）如图，小明在教学楼的楼顶测得：对面实验大楼的顶端的仰角为，底部的俯角为，如果教学楼的高度为米，那么两栋教学楼的高度差为__________米． 【答案】 【解析】 连接AC， 由题意知四边形ABCH是矩形，则DH=AB=m， 在Rt△ADH中，∠DAH=，， ∴， 在Rt△ACH中，∠CAH=，， ∴， 故答案为：． ． 【例3】（2021·上海九年级专题练习）七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为______米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 如图，A点为塔顶 ，B点为塔底，C点为无人机的位置，过点C作交AB于点D，则BD的长度即为所求． 设 ， ， ． 在中， ， ， 解得， ∴， 即此时无人机距离地面的高度为米， 故答案为：． 【例4】（2021·天津九年级其他模拟）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留整数）．参考数据：tan50°≈1.2． 【答案】8m 【解析】 解：在Rt△ACD中，AC=CD•tan50°=40×1.2=48（m）， 在Rt△BCD中，∠BDC=∠DBC=45°，BC=CD=40（m）． ∴AB=AC-BC=48-40=8（m）． 答：旗杆的高度AB约为8m． 【例5】（（2021·安徽九年级一模）如图，甲、乙两栋楼的高度均为90 m．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，甲楼在乙楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为53°，甲楼在乙楼墙面上的影高为AD．已知CD=40 m，若每层楼的高度均为3 m，求点C位于第几层．（参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，≈1.73，≈1.41） 【答案】点C位于第20层 【解析】 解：如图，过点C作CE⊥PB于点E，过点D作DF⊥PB于点F， 则∠CEP=∠DFP=90°． 设楼间距为x m． ∵∠PCE=30°，∠PDF=53°， ∴PE=CE·tan 30°=x m，PF=DF·tan 53°≈1.33x m． ∵EF=CD=40 m， ∴PF-PE=40 m， 即1.33x-x=40， 解得x≈53.1， ∴PE=x≈30.6（m）， ∴AC=BE=PB-PE=90-30.6=59.4（m）． ∵每层楼高为3 m，59.4÷3=198， ∴点C位于第20层． 举一反三 1．（2021·上海九年级一模）如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为________度． 【答案】126°或54° 【解析】 解：当仰角是36°时，如下图所示 由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为36°＋90°=126°； 当俯角是36°时，如下图所示 由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为90°－36°=54°； 综上：该视线与铅垂线之间的夹角为126°或54° 故答案为：126°或54°． 2．（2021·上海）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是______度． 【答案】36 【解析】 解：如图所示： ∵甲处看乙处为俯角∠DBA=36°，， ∴乙处看甲处为：仰角∠CAB=∠DBA=36°． 故答案为：36． 3．（2020·上海九年级月考）在南海阅兵式上，某架“直-8”型直升飞机在海平面上方1200米的点A处，测得其到海平面观摩点B的俯角为60°，此时点A、B之间的距离是________米. 【答案】 【解析】 分析：过A作于C，由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边AC求斜边AB，可以用60°正弦函数来计算即可． 解析：根据题意得：米， 点A、B之间的距