第10讲 解直角三角形-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第10讲 解直角三角形 知识梳理 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 题型探究 题型一、解直角三角形的基本类型 【例1】（2019·全国）在中，，根据下列条件解直角三角形． （1），； （2），． 【答案】（1），，；（2），，． 【解析】 解；（1）∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵a=6， ∴c=AB=2BC=2×6=12， ∴b=12×sin60°=6； （2））∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵b=10， ∴c=AB==20， ∴a=c=10． 【例2】（2020·山东九年级期中）在中，已知，，．解这个直角三角形． 【答案】，，，，． 【解析】 解：∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠A-∠B=30°， ∴∠A=60°，∠B=30°， ∵sin30°==， ∴b=c， ∵b+c=30， ∴c+c=30， 解得c=20， 则b=10， a==10． 题型二、解非直角三角形 【例3】（2020·山东）在中，，则的面积为_________ 【答案】 【解析】 如图，过点B作BD⊥AC交AC延长线于点D， ∵∠BAC=120°， ∴∠BAD=180°-120°=60°， ∵， ∴， ∴△ABC的面积． 故答案为：． 【例4】（2019·上海市闵行区七宝第二中学九年级期中）等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________ 【答案】30° 【解析】 如图 ∵△ABC的周长为，腰长为1， ∴AB=AC=1,BC=， ∴过A作AD⊥BC于点D,则BD=， 在Rt△ABD中, ， ∴∠B=30°， 故填30°. 举一反三 1．（2021·哈尔滨市第六十九中学校九年级三模）在中，，，，则的长是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】 解：，， ． ． 故选：A． 2．如图，在中，，则的长为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：∵∠B=90°，tanC=2， ∴=2，即AB=2BC，又AC=10， ∴， ∴或（舍）， ∴， 故选D． 3．（2021·辽宁九年级一模）如图，在等腰直角三角形中，，，点D是AB边上一点，若，则线段DB的长度为（ ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】 解：如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6， ∴BC=6，∠B=45°，且DE⊥BC， ∴∠EDB=∠B=45°， ∴DE=BE，设DE=x， ∵， ∴CE=2DE=2x=6-x， ∴x=2, ∴DE=BE=， ∴BD==2 故选C． 4．（2021·上海九年级专题练习）已知在中，，，，那么AC的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：在Rt△ABC中， sinβ=， ∴AC=AB•sinβ=5sinβ， 故选：B． 5.（2019·上海九年级单元测试）在中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=_____． 【答案】4±3 【解析】 如图，过C点作CD⊥AB于D，设BC=x, ∵∠ABC=30°， ∴CD=BC=x，BD=， ∴AD=（8－） 在Rt△ADC中，根据勾股定理得： AD2+CD2=AC2 即（8－）2＋（x）2=52 解得4±3 即BC=4±3. 6.（2021·天津九年级月考）如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，∠ A=60° 【解析】 解：∵，， ∴． ∵，， 即，， ∴，． 7.（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD＝，求∠B，a，c的值． 【答案】∠B＝30°，a＝8，c＝16 【解析】 解：∵∠C=90°，b=8，∠CAB的平分线AD， ∴cos∠CAD， ∴∠CAD=30°， ∴∠CAB=60°， ∴∠B=30°， ∴c=2b=16，a8， 即∠B=30°，a=8，c=16． 题型三、解直角三角形的应用 【例5】（2021·上海九年级专题练习）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝_____（结果保留根号） 【答案】 【解析】 解：∵AB＝5，∠B＝60°， ∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝×5＝， ∵BC＝8， ∴S△ABC＝×8×＝10； 故答案为：10． 【例6】（2021·全国九年级专题练习）如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 【答案】 【解析】 解：如图，延长B