第08讲 锐角的三角比的意义-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第8讲 锐角的三角比的意义 知识一、正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．a c A B C b ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． 题型探究 题型一、寻找对边与邻边 【例1】如图，在中，，，垂足为点Q． （1） 在中，的对边是______，的邻边是______； 在中，的对边是______，的邻边是______． （2） 在____中，的对边是MP；在____中，的邻边是NQ． （3） 的邻边是______，的对边是______． P N M Q 【答案】（1）；；（2）；； （3）． 【解析】图中有3个直角三角形，同一个锐角有可能属于两个直角三角形，注意审题清楚即可． 题型二、求锐角的正切与余切 【例2】在中，，AC = 4，BC = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值． 【答案】． 【解析】画示意图，很直观的可以确定锐角的对边和邻边，∠A和∠B的正切和余切即可表示． 举一反三 1.如图，在中，，的对边是______，的邻边是______ 的对边是______，的邻边是______． A B C 【答案】． 【解析】在直角三角形中，锐角的对边是指该锐角相对的直角边， 邻边是指该锐角相邻的直角边，直角所对的边叫斜边． 2.如图，在中，，，垂足为点Q． （1）． （2）______，______．（用正切或余切表示） P N M Q 【答案】（1）；（2）． 【解析】直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（），表示 一个角的正切，先判定该锐角属于哪个直角三角形，再找对应的对边和邻边． 3.（2021·贵州九年级三模）中，，，，那么的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图， 在Rt△ABC中，，，，由勾股定理得： ， 可得. 故选：D. 4．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么tanA＝________． 【答案】 【解析】 解：根据直角三角形中，tanA为∠A 所对应的直角边与邻边之比，即tanA== 知识二、正弦与余弦 1.正弦a c A B C b 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． 题型探究 题型一、正弦、余弦的定义 【例3】如图，在中，，，垂足为点Q． （1） ． （2） ______，______．（用正弦或余弦表示） P N M Q 【答案】（1）；（2）． 【解析】，理解了这个定义，再确定 直角三角形，当互余时，，所以第（2）均有两解． 题型二、求锐角的正弦与余弦 【例4】如图，在中，，AB = 17，BC = 8，求sin A，cos A的值． 【答案】． 【解析】在中，AB = 17，BC = 8，由勾股定理，得AC=15,∴， ． 【例5】如图，在直角坐标平面内有一点P（3，4）．求OP与x轴正半轴的夹角的正切、正弦和余弦的值． x y P O 【答案】． 【解析】过点P作PQ垂直于轴，则 在直角三角形OPQ中，由勾股定理，得，． 【总结】考查作垂线构造直角三角形求解锐角的正弦和余弦． 【例6】已知，在中，，BC = 9，sin A =． 求：（1）AB的长；（2）sin B的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）在中，，∵，∴； （2）由勾股定理，得，． 举一反三 1．（2021·上海九年级专题练习）在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则______． 【答案】 【解析】在Rt△ABC中，AC＝， ，故填． 2．（2019·甘肃九年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________． 【答案】 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝6，AB＝10， ∴sinA＝． 故答案为：． 3.（2019·全国九年级课时练习）在中，，，，则______，______，______，______，______，______． 【答案】 【解析】解：如图：c＝＝17； ∴sinA＝，sinB＝，cosA＝，cosB＝，tanA＝，tanB＝， 故答案为；；；；；． 4．（2018·安徽九年级期末）如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则si