第01讲二次根式的概念与性质（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第1讲 二次根式的概念与性质 知识一、二次根式的概念 1．代数式（a≥0）叫做二次根式. 读作"根号 a"，其中 a是被开方数，它所表示的意义是一个非负数的正的平方根. 其中的a 可以是整式，也可以是分式. 理解二次根式的概念，我们要注意以下两点; （1）判断一个式子是不是二次根式，不仅要看它是否含有""，而且要看被开方数或被开方式的值是否是非负数.不带二次根号的式子当然不是二次根式，但是带有二次根号的式子不一定是二次根式，如、（a>0）这两个根式在实数范围内无意义，它们不是二次根式。 （2）在二次根式中 ，a 可以是一个非负实数，这时表示a 开平方取算术平方根的结果，a 也可以是一个表示非负数的整式或分式，如 、，可知无论a是数还是式，的值都是非负数，这就是二次根式的非负性. 2.有理式与无理式 课本指出∶"通常把形如 m（a≥0）的式子也叫做二次根式，"这样，二次根式的范围就更广了.但要注意，有的二次根式是有理式，如 3;有的二次根式的被开方数中含有字母，它们不是有理式，如，有的书上把根号内含有字母的代数式叫做无理式，无理式一定是根式，但根式不一定是无理式，有理式和无理式的主要区别在于被开方数中是否含有字母. 3.二次根式的意义 式子（a≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根，因此式子≥0，也就是说，二次根式一定基非负数，所以中不但a是非负数，也是非负数. 【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 　　、、、、、、、、 (x≥0，y≥0)． 【答案】二次根式：、、、、 (x≥0，y≥0)． 【解析】为三次根式；、为分式；为四次根式；其它均符合二次根式的定义. 【例2】设实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）任意实数. 【解析】 （1）由2x-1≥0,得.所以，当时，有意义. （2）由2-x≥0,得.所以，当时，有意义. （3）由以及x≠0,可知x与1得x>0,.所以，当x>0,时，有意义. （4）因为不论x是什么实数，都有x2 ≥0，可知1+x2 >0.所以当x是任何实数时，有意义. 【例3】若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值． 【答案】 【解析】 解：要使y有意义，必须，即∴　x＝．当x＝时，y＝． ∴　原式＝ 举一反三 1.（2021·山东烟台市·八年级期中）当为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个 ，，，，， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】 解：是二次根式的有：、、、共4个． 故选：B． 2.（2021·山东临沂市·八年级期末）下列二次根式，无论x取什么值都有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：，当时，二次根式有意义，故此选项不合题意； ，当时，二次根式有意义，故此选项不合题意； ，当时，二次根式有意义，故此选项不合题意； 无论取什么值，二次根式都有意义，故此选项符合题意． 故选：D． 3.（2021·江西八年级期中）已知，都是实数，且，则______． 【答案】16 【解析】 解：由题意可知，，，解得，代入可得 故答案为16． 4.（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）代数式中的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 解：代数式有意义，则3+x≥0且， 解得：且， 故答案为：且． 知识二、二次根式的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 【例4】求下列二次根式的值∶ （1） （2） 【答案】（1）π-3；（2）. 【解析】 （1）=|3-π|.因为 3-π <0，所以|3一π|= -（3一π）=π-3. 所以，=π-3. (2) 当时，原式=.因为<0，所以 = -()=.所以，当时，原二次根式的值是. 【例5】化简二次根式∶ (1); (2); (3) (x≥0). 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）. （2）由12a3≥0，可知 a≥0. (3) ; 【例6】化简二次根式∶ （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1） （2）由且x≠0，可知x>0， （3）由已知二次根式中b>0,可知a>0. 【例7】（1）（2021·上海）如果，那么（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵是二次根式， ∴≥0， ∴≥0， 解得 ， 故选D. （2）（2021·重庆八年级期中）二次根式化简的结果为______． 【答案】 【解析】 解：根据题意得 ， ∴ ， ∴． 故答案为：． （3）（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）化简（m-n__________________． 【