2.1 相等关系与不等关系-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）(湘教版2019必修第一册)

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 相等关系与不等关系 学习导航 1、 能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系。 2、 了解等式的性质和掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题。 3、 了解基本不等式的证明过程。 4、 熟练掌握基本不等式及变形的应用。 教学过程 一、等式与不等式 1、基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 2、重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 3、等式的基本性质 （1）如果a＝b，那么b＝a. （2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c. （3）如果a＝b，那么a±c＝b±c. （4）如果a＝b，那么ac＝bc. （5）如果a＝b，c≠0，那么＝. 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 例题1 1．若a<b <0，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C．a-b>0 D．|a|>|b| 【答案】D 【分析】 利用特殊值排除错误选项，根据绝对值的几何意义证明正确选项. 【详解】 令， 则，所以AB选项错误， ，所以C选项错误， 由于根据绝对值的几何意义可知，所以D选项正确. 故选：D 二、基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 例题2 2．下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C．的最小值为2 D． 【答案】B 【分析】 利用特殊值排除AD选项，根据基本不等式等号成立的条件排除C选项，利用基本不等式，证得B选项成立. 【详解】 分别令排除A，D．选项C等号不成立，排除C.（即不合题意.） 对于B选项，，所以B选项正确. 故选：B． 三、基本不等式的应用 1、用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数． (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 例题3 3．已知，，，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据基本不等式化简得到，当且仅当时取最大值. 【详解】 因为，，， 所以有， 当且仅当时取等号. 故选：D. 课时训练 1．若，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 构造和为定值，利用基本不等式． 【详解】 ，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A 2．已知，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 由题意知利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为，，所以， ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 3．若a＞0，b＞0，且a≠b，则（ ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】B 【分析】 利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】 ∵a，b∈R+，且a≠b， ∴a+b＞2，∴＜， 而＝＞0， ∴＜， 故选：B 4．下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C．若，则a=b D．若x=y，则 【答案】D 【分析】 利用等式的性质分别对各选项逐一分析判断并作答. 【详解】 对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确； 对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确； 对于选项C，由等式的性质知，若，则a=b，C正确； 对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则的前提条件为a≠0，D错误． 故选：D 5．有四个不等式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3．若，则不正确的不等式的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 由可得，然后根据不等式的性质即可判断. 【详解】 由可得,