1.2 常用逻辑用语-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）(湘教版2019必修第一册)

第1章 集合与逻辑 1.2 常用逻辑用语 学习导航 1、 掌握命题的概念，能对命题进行真假判断。 2、 理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义。 3、 会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假。 4、 理解充分条件、必要条件的概念。 5、 掌握命题的否定的概念，能够对一个命题进行否定。 教学过程 一、命题 1．命题的概念 例题1 1．下列语句为命题的是（ ） A． B．求证对顶角相等 C．不是偶数 D．今天心情真好啊 【答案】C 【分析】 根据命题的概念进行判断. 【详解】 对于A选项，为不等式，不能判定真假，故不是命题； 对于B选项，“求证对顶角相等”为操作命令； 对于D选项，为感叹句，不是命题. 故选：C. 二、充分条件和必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 (1如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 例题2 2．设集合.，那么“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据充分性、必要性的定义，结合集合的交集定义进行求解即可 【详解】 当且成立时，根据集合的交集定义可知：， 当成立时，根据集合的交集定义可知：且， 故“且”是“”的充分必要条件， 故选：C 三、全称量词和存在量词 1．含有量词的命题 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.含量词命题的否定 （1）命题的否定 ①定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”． ②命题p与其否定綈p的真假关系． 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然． （2）含量词的命题的否定 p 綈p 结论 全称量词命题∀x∈M，q(x) ∃x∈M，綈q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 例题3 3．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 根据全称命题的否定直接写出结果即可. 【详解】 命题“，”的否定是，. 课时训练 1．命题“x∈R，x2>1"的否定是（　　） A．x∈R，x2<1 B．x∈R，x2≤1 C．x∈R，x2≤1 D．x∈R，x2<1 【答案】B 【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 【详解】 命题为全称命题，则命题x∈R，x2>1的否定为x∈R，x2≤1， 故选：B. 2．命题“，”的否定（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】 根据特称命题的否定为全称命题可得. 【详解】 根据特称命题的否定为全称命题， 则“，”的否定为，. 故选：C. 3．使不等式－5x＋3≥0成立的一个充分不必要条件是（ ） A．x<0 B．x≥0 C．{3，5} D．x≤ 【答案】A 【分析】 先求出不等式的解集，要找不等式－5x＋3≥0成立的一个充分不必要条件，只要找出不等式解集的一个真子集即可 【详解】 由－5x＋3≥0，得{x|x≤}，只有选项A中x的范围为其真子集. 故选：A. 4．“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先考虑充分性，再考虑必要性，即得解. 【详解】 先考虑充分性： 因为两个角是对顶角，所以这两个角相等， 所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件； 再考虑必要性： 两个角相等，但是这两个角不一定是对顶角， 所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的非必要条件； 所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分不必要条件. 故