知识点03 等比数列-【提升专练】2021-2022学年高二数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019选择性必修第一册）

知识点03等比数列 学习目标 1.理解等比数列的概念以及常用性质 2.掌握等比数列的前n项和公式 学习过程 1.等比数列的概念 如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的比都等于______常数，那么这个数列叫做等比数列 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的____________ 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an-a1qn-1 注意： 1.等比数列中任一项都不为0，且公比q0 2.q=1时，数列为常数列，同时此数列也是等差数列，但常数列不一定都是等比数列 2.等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则______. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的______(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是______，______，______. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与 也都是等比数列，公比分别为pq和. 3.等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 ____________ Sn＝ 4.等比数列前n项和的性质 (1)．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，______仍构成等比数列． (2)．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． (3)．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，____________； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 参考答案 1.2 同一个 等比中项 2.ak·al＝am·an 和 q q2 3.Sn＝ 4.S3n－S2n ＝q 题型探究 探究、等比数列前n项和公式的实际应用 例题1 中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第2天走的路程为 A．24里 B．48里 C．72里 D．96里 【答案】D 【详解】 根据题意，记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列， 由S6=378，得S6==378， 解可得a1=192， 则a2=a1×q=192×=96； 即此人第二天走的路程里数为96, 故答案为D 例题2 中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”.意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：由题意可知，每天走的里数是以为公比的等比数列， 由题意可得，， 故， ∴. 故选：C. 反思感悟 解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学(数列)问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中． 课时对点练 一、单选题 1．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ∵a1+a2+a3+…+an＝3n﹣1，①，∴a1+a2+a3+…+an+1＝3n+1﹣1，② ②﹣①得：an+1＝3n+1﹣3n＝2×3n，∴an＝2×3n﹣1. 当n＝1时，a1＝31﹣1＝2，符合上式，∴an＝2×3n﹣1． ∴，∴是以4为首项，9为公比的等比数列， ∴a12+a22+a32+…+an2=． 故选B． 2．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）. A．8 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【详解】 解：由题意可知：， 即， 即， 又， ， 即数列是以首项为9，公比为的等比数列， ， 即， ， ， 则， 即， 又， 满足不等式的最小整数， 即. 故选：D. 3．已知正项等比数列的前项和为，若，，