知识点02 等差数列-【提升专练】2021-2022学年高二数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019选择性必修第一册）

知识点02等差数列 学习目标 1.理解等差数列概念并掌握等差数列的通项公式 2.学会运用等差数列的常用性质 3.了解等差数列前n项和公式以及性质 学习过程 1.等差数列的概念 如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都________同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 2.等差数列的通项公式 对于等差数列{an}的第n项an，有an=1+这就是等差数列{an}的通项公式，其中为1________，d为________ 3.等差数列的性质 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 ________ 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为_______的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为_______的等差数列(k为常数，k∈N*) ________ 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 4.等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 ____________ Sn＝na1＋d 5.等差数列前n项和的性质 若数列{an}是首项1，公差为________的等差数列，则它具有下列性质 ①d>0{an}是________数列，d=0{an}是常数列，d<0{an}是________数列 ②若m+n=2k（m，n，k*），则________ ③若m+n-p+q（m，n，p，q*），则am+an=ap+aq ④若{an}是________等差数列，则a1+an=a2+an-1=...=ai+an+1-i=... ⑤数列{n+b}（，b是常数）是公差为d的等差数列 ⑥下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m...(k,m*)组成的公差为md的等差数列 ⑦若数列{an}也是等差数列，则数列{anbn}，{kanbn}（k为非零常数）也是等差数列 参考答案 1.2 等于 2.首项 公差 3.{c＋an} cd_ kd_ {pan＋qbn} 4.Sn＝ 5.d 递增 递减 am+an=2ak 有穷 题型探究 探究、等差数列性质的应用 例题1 设等差数列的前项和为．若，则数列的最小项是（ ） A．第6项 B．第7项 C．第12项 D．第13项 【答案】B 【详解】 由题意及，得，所以，且公差，所以，最小.故选B. 例题2 设是等差数列的前n项和，若则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在等差数列{an}中，由，得 故选：A 反思感悟 等差数列运算的两种常用思路 (1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 课时对点练 一、单选题 1．设是等差数列的前n项和，若则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在等差数列{an}中，由，得 故选：A 2．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13等于(　　) A．3 B．6 C．17 D．51 【答案】A 【解析】 因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.故选A. 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】C 【详解】 设这位公公的第个儿子的年龄为， 由题可知是等差数列，设公差为，则， 又由，即，解得， 即这位公公的长儿的年龄为岁． 故选C． 4．对于数列，定义为数列的“美值”，现在已知某数列的“美值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取