知识点01 数列-【提升专练】2021-2022学年高二数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019选择性必修第一册）

知识点1 数列 学习目标 1.理解数列的有关概念以及掌握数列的分类 2.掌握数列的表示方法 学习过程 1.数列的概念 定义：按照确定的______排列的一列数称为数列 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为______． 注意事项 （1）数列中的数是按照一定次序排列的，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列 （2）数列的项是指出现在这个数列中额某一个确定的数an，而项数是指这个数在数列中的位置序号 2.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 ______数列 项数______的数列 ______数列 项数______的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 常数列 各项都______的数列 ______数列 从第2项起，有些项都大于它的前一项的数列，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示方法 ______公式 如果已知一个数列{an}的第一项（或前几项）。且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系______用一个公式来表示，即递推公式 ______公式法 如果数列{an}的第______项与序号______之间的关系可以用一个公式来表示，即通项公式 注意： 与所有的数列不一定都有通项公式一样，不是所有的数列都有递推公式 通过对递推公式逐项赋值可求出数列的项，直至求出数列的任何一项或所需的项 4.由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区． 参考答案 1.顺序 {an} 2.有穷 有限 无穷 无限 大于 小于 相等 摆动 3.递推 可以 通项 n n 题型探究 探究、由递推公式求通项公式 例题1 （1）已知数列满足，且，求数列的通项公式； （2）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）由得，， ∴是常数．又，∴是以为首项，2为公差的等差数列． ∴，∴． （2）将两边同时除以，得， 则， ∴ ，则． 例题2 已知有穷数列：1，12，123，1234，…，123456789，在每一项的数字后添写后一项的序号便是后一项. （1）写出数列的递推公式. （2）求，. （3）用上面的数列，通过公式，构造一个新数列，写出数列的前4项. （4）写出数列的递推公式（不需要证明）. （5）求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5）. 【详解】 （1）前4项可改写为，观察可得递推公式为； （2）观察可得，； （3），，，， 故数列的前4项分别为：； （4）前4项可改写为，，，，观察可得递推公式为； （5），， . 反思感悟 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式． (2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决． 课时对点练 一、单选题 1．已知正项数列满足，设，当最小时，的值为 A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】 由得，则０，，当且仅当时取得最小值，此时. 故选：B. 2．数列满足性质：对于任意的正整数n，都成立，且，，则a10的最小值为（ ） A．18 B．20 C．28 D．58 【答案】C 【详解】 令，由得，即. 又，， 即，，， 即，. 故选：C. 3．已知函数令得数列，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 令得数列 且数列为递增数列， 得 解得. 即： 故选：B. 4．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A．2072 B．2073 C．2074 D．2075 【答案】C 【详解】 ∵，，，所以从数列中去掉个平方数， 因为，所以从数列中去掉个立方数， 又，所以在从数列中有3个数即是平方数， 又