知识点03 抛物线-【提升专练】2021-2022学年高二数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019选择性必修第一册）

知识点3抛物线 学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的方程． 3.掌握抛物线的几何性质以及掌握直线与抛物线的位置关系 学习过程 1.抛物线的定义 平面内的一个定点F和一条直线l（F不在l上）的距离________的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的________定直线l叫做抛物线的____ 2.抛物线的标准方程 ①在焦点的________轴上的抛物线的标准方程 （1）y2=2（p>0），焦点为（），准线方程是________ （2）y2=-2（p>0），焦点为________，准线方程是 ②在焦点的________轴上的抛物线的标准方程 （1）x2=2（p>0），焦点为（），准线方程是 （2）x2=-2（p>0），焦点为（），准线方程是________ 3.抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) ________ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 ________轴 x轴 y轴 ________轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ ________ _______ y＝ 顶点坐标 ________ 离心率 e＝1 通径长 2p 4.直线与抛物线的位置关系 通过直线与抛物线的公共点个数判断 ①直线与抛物线有_______公共点直线与抛物线相交 ②直线与抛物线有1个公共点直线与抛物线________或________ ③直线与抛物线有________公共点直线与抛物线相离 5.把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是________还是________． (2)关系：顶点位于焦点与准线________，准线________于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于________. 6.圆锥曲线的统一定义 平面内到一个定点F和到一条直线l的距离之比________常数e的点的轨迹 当0<e<1时，它是________；当e>1时，它是曲线；当e=____时，它是抛物线 其中e是圆锥曲线的________，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的________ 参考答案 1.相等 焦点 准线 2.x （-） Y 3.y2＝－2px(p>0) x y x＝ y＝－_ O(0,0) 4.2个 相切 相交 没有 5.正 负 中间 垂直 1 6.等于 椭圆 1 离心率 准线 题型探究 探究一、抛物线的几何性质的应用 例题1 已知曲线上每一点到直线：的距离比它到点的距离大1． （1）求曲线的方程； （2）若曲线上存在不同的两点和关于直线：对称，求线段中点的坐标． 【答案】（1）；（2）. 【详解】 解：（1）由题意可知，曲线上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，所以曲线是顶点在原点，轴为对称轴，为焦点的抛物线， 所以曲线的轨迹方程为． （2）设，，线段的中点的坐标为． 因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，则直线的斜率为． 设其方程为，由，消去，整理得． 由题意，，从而①，所以， 所以．又在直线上，所以，则点坐标为，此时，满足①式．故线段的中点的坐标． 例题2 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值． 【答案】（1）（2） 【详解】 解：（1）已知抛物线过点，且 则， ∴， 故抛物线的方程为； （2）设，， 联立，得， ，得， ，， 又，则， ， 或， 经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意， 又， 综上：的值为-8． 反思感悟 抛物线几何性质的简单应用策略 1.用抛物线方程确定其焦点、准线及应用焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程 2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性 课时对点练 1、 选择题 1．已知双曲线与抛物线的一个交点为.为抛物线的焦点.若.则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设，则，，， 又在双曲线上，所以，， 双曲线方程为．， 所以渐近线方程为． 故选：B． 2．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，若直线的斜率为1，则弦的长为（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】 解：依题意得，抛物线的方程是，直线的方程