知识点02 双曲线-【提升专练】2021-2022学年高二数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019选择性必修第一册）

知识点2双曲线 学习目标 1.了解双曲线的定义及其标准方程 2.掌握双曲线的简单几何性质 3.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 学习过程 1.双曲线的定义 平面内的两个定点F1,F2的距离________的绝对值等于常数（小于F1,F2的正数）的点的轨迹叫做________ 两点定点F1,F2叫做双曲线的________，两个焦点间的距离叫做双曲线的________ 2.双曲线的定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的________． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合________定理、________定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 注意事项： 定义中的常数记做2则 （1） 当2<F1,F2时，点的轨迹是椭圆 （2） 当2=F1,F2时，点的轨迹是两条射线 （3） 当2>F1,F2时，点的轨迹是不存在的 3.双曲线标准方程 焦点位置 焦点在________轴上 焦点在________轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 ____________________ ________________________ a，b，c的关系 c2＝____________ 4.双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 ________________ ________________ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 ___________________ 5.直线与双曲线的位置关系 将直线方程与双曲线方程联立组成方程组， (1)若得带的方程是一元一次方程，且直线与双曲线的渐近线________，即直线与双曲线相交且只有________公共点 (2)若得到的方程是二次方程，则 Δ>0方程组有两组解直线与双曲线________； Δ＝0方程组有_______实数解直线与双曲线相切； Δ<0方程组有无数实数解直线与双曲线________． 参考答案 1.之差 双曲线 焦点 焦距 2.距离 余弦 勾股 3.x y (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a2＋b2 4.x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)_ 5.平行 一个 相交 一个 相离 题型探究 探究一、由双曲线的几何性质求标准方程 例题1 已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论错误的是（ ） A．曲线的方程为； B．左焦点到一条渐近线距离为； C．直线与曲线有两个公共点； D．过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条； 【答案】C 【详解】 因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，所以双曲线方程为，A正确； 由双曲线方程知，，左焦点为，渐近线方程为，左焦点到渐近线的中庸为，B正确； 由得，代入双曲线方程整理得，解得，所以，直线与双曲线只有一个公共点，C错； 双曲线的通径长为，因此过右焦点，且两顶点都右支上弦长为的弦有两条，又两顶点间距离为，因此端点在双曲线左右两支上且弦长为的弦只有一条，为实轴，所以共有3条弦的弦长为，D正确． 故选：C． 例题2 已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】 不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为. 则， 因为点在双曲线上，所以，则， 又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为， 所以， 解得. 故选：C. 反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 课时对点练 1、 选择题 1．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】 不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为. 则， 因为点在双曲线上，所以，则， 又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心