专题十四 数系的扩充与复数的引入-【创新教程】2017-2021五年高考理科数学真题分类汇编

若a１＞０,则ai＞aj＞０,所以an＋１＝ a２i aj ＝ai ai aj ＞ai×１ ＝ai＞aj,所以j＜i＜n＋１,即j＜i≤n,所以aj＝ a１qj－１,ai＝a１qi－１,则an＋１＝a１q２i－j－１．因为an＋１＞ an,所以an＋１＝a１q２i－j－１＞a１qn－１．因为a１＞０,q＞１, 所以２i－j＞n．又因为j＜i＜n＋１,所以j≤n－１,i≤ n,所以２i－j≤２n－(n－１)＝n＋１,所以２i－j＝n＋ １,且 i＝n,j＝n －１ 时 取 “＝ ”,此 时 an＋１ ＝a１q(n＋１)－１． 若a１＜０,则an＜０,aj＜ai＜０,所以an＋１＝ a２i aj ＝ai ai aj ＞ai×１＝ai＞aj,所以j＜i＜n＋１,即j＜i≤n,所以 aj＝a１qj－１,ai＝a１qi－１,则an＋１＝a１q２i－j－１．因 为 an＋１＞an,所以an＋１＝a１q２i－j－１＞a１qn－１,因为a１＜ ０,０＜q＜１,所以２i－j＞n．又因为j＜i＜n＋１,所以j ≤n－１,i≤n,所以２i－j≤２n－(n－１)＝n＋１,所以２i －j＝n＋１,且i＝n,j＝n－１时取“＝”,此时an＋１ ＝a１q(n＋１)－１． 由(１)(２)可知,an＝a１qn－１对任意n∈N∗ 成立,则有 an＋１ an ＝q(常数),所以数列{an}是等比数列． 专题十四　数系的扩充与复数的引入 实战集训１ １．A　考查复数的四则运算和复平面内点的对应关系, 属于简单题．２－i１－３i＝ (２－i)(１＋３i) １－(３i)２ ＝５＋５i１０ ＝ １ ２＋ １ ２i 对应点为 １ ２ ,１ ２( ),位于第一象限． ２．D　z＝ ２１－i＝ ２􀅰(１＋i) (１－i)􀅰(１＋i)＝１＋i． 故选 D． ３．C　设z＝a＋bi,则􀭵z＝a－bi,代入得４a＋６bi＝４＋６i 得a＝１,b＝１,∴z＝１＋i． ４．B　由(１－i)２z＝３＋２i,得z＝ ３＋２i(１－i)２ ＝３＋２i－２i＝－１＋ ３i ２ ,故选B． ５．C　z(􀭵z＋i)＝(２－i)(２＋i＋i)＝(２－i)(２＋２i)＝４＋４i －２i－２i２＝６＋２i,故答案选C． ６．C　(１＋ai)i＝i－a＝３＋i⇒a＝－３． ７．D　由z＝１＋i得,z２＝２i,２z＝２＋２i,所以|z２－２z|＝ |２i－(２＋２i)|＝２． ８．D　 １１－３i＝ １＋３i (１－３i)(１＋３i)＝ １＋３i １０ ＝ １ １０＋ ３ １０i ,故 选 D． ９．D　由题意得,２－i１＋２i＝ (２－i)(１－２i) (１＋２i)(１－２i)＝ ２－i－４i－２ １＋４ ＝－５i５ ＝－i． １０．B　本题考查复数几何意义以及复数乘法法则,由题 意得z＝１＋２i,∴iz＝i－２． １１．C　z＝－３－２i,对应的点为(－３,－２),在第三象限． １２．D　本题考查复数的商的运算,渗透了数学运算素 养．采取运算法则法,利用方程思想解题．z＝ ２i１＋i＝ ２i(１－i) (１＋i)(１－i)＝１＋i． 故选 D． １３．解析:z１＋z２＝１＋i＋２＋３i＝３＋４i． 答案:３＋４i １４． １３　所以解答与复数概念或运算有关的问题时, 需把所给复数化为代数形式,即a＋bi(a,b∈R)的形 式,再根据题意求解． 解法一:５－i １＋i ＝ (５－i)(１－i) (１＋i)(１－i) ＝|２－３i|＝ １３． 解法二:５－i １＋i ＝ |５－i| |１＋i|＝ ２６ ２ ＝ １３． １５．２２　 本题考查了复数模的运算,属于简单题． |z|＝ １|１＋i|＝ １ ２ ＝ ２２． 实战集训２ １．C　因为a－１＋(a－２)i是实数,所以虚部a－２＝０, 所以a＝２． ２．C　|z－i|＝１表示复平面内的点(x,y)到点(０,１)的 距离为１,故点 E 的轨迹方程为x２＋(y－１)２＝１． 选C． ３．C　z＝１－i１＋i＋２i＝－i＋２i＝i ,∴|z|＝１,故选C． ４．D　１＋２i１－２i＝ (１＋２i)２ (１－２i)(１＋２i)＝ １＋４i－４ ５ ＝－ ３ ５＋ ４ ５i , 故选 D． ５．D　(１＋i)(２－i)＝２－i＋２i＋１＝３＋i． ６．D　３＋i１＋i＝ (３＋i)(１－i) (１＋i)(１－i)＝２－i． ７．B　令z＝a＋bi(a,b∈R),则由１z＝ １ a＋bi＝ a－bi a２＋b２ ∈ R得b＝０,所以z∈R,p１ 正确;由i２＝－１∈R,i∉R 知,p２ 不正确; 由z１＝z２＝i,z１􀅰z２＝－１∈R知p３ 不正确; p４ 显然正确,故选B． ８．C　由题意可得:z＝ ２i１＋i ,∴|z|＝ |２i||１＋i|＝ ２ ２