专题十 计数原理-【创新教程】2017-2021五年高考理科数学真题分类汇编

x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷(x１－x２)＋ y１＋y２ ２ － ５ ２ æ è ç ö ø ÷(y１－y２)＝０． 代入y＝１２x ２ 得 １ ２ (x２１－x２２)＋ x２１＋x２２ ４ － ５ ２ æ è ç ö ø ÷ 􀅰１ ２ (x２１－x２２)整理得 (x１－x２)(x１＋x２)(x２１＋x２２－６)＝０． 因x１－x２≠０,故(x１＋x２)(x２１＋x２２－６)＝０．所以x１ ＋x２＝０或x２１＋x２２－６＝０． 由第一问中 y－１２x ２ １＝x１x－x２１　① y－１２x ２ ２＝x２x－x２２　② ì î í ïï ïï ,为这里的(x, y)为D 点坐标,然而y＝１２ ,故－１２－ １ ２x ２ １＝x１x－ x２１,所以x＝ １ ２ x１－ １ x１( ),又因为x１x２＝－１．所以x ＝１２ x１－ １ x１( ) ＝ １ ２ x１－ －x１x２ x１ æ è ç ö ø ÷ ＝１２ (x１＋x２)． 即D 坐标为 １２ (x１＋x２),－ １ ２( )． 那 么 BA→ ＝ (x１ － x２,y１ － y２ ),ED → ＝ １２ (x１＋x２),３( )． 设θ为BA→与ED→的夹角,那么有 S四边形ADBE ＝ １ ２ BA 􀅰 EDsin θ ＝ １ ２ BA ２􀅰ED２(１－cos２θ) ＝１２ 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　|BA→|２􀅰|ED→|２－(BA→􀅰ED→)２ ＝ １ ２ [(x１－x２) ２＋(y１－y２)２]􀅰 １ ４ (x１＋x２)２＋９[ ] ２ － (x１－x２)􀅰 １ ２ (x１＋x２)－３(y１－y２)[ ] ２ 代 入 y ＝ １２ x ２ 进 行 化 简 有 S四边形ADBE ＝ １ ２ (x１－x２)２􀅰 ９＋３(x１＋x２)２＋ (x１＋x２)４ １６[ ] 若x１＋x２＝０,则S四边形ADBE＝ １ ２ (x１－x２)２􀅰９＝ ３ ２ (x１＋x２)２－４x１x２＝３． 若x２１＋x２２－６＝０,则(x１＋x２)２＝x２１＋x２２＋２x１x２＝ ４,(x１－x２)２＝x２１＋x２２－２x１x２＝８ 代入 有 S四边形ADBE ＝ １ ２ ８ 􀅰 ９＋３２ 􀅰４＋４ ２ １６( ) ＝ ４ ２． 所以四边形ADBE 的面积为３或４ ２． 答案:(１)见详解;(２)３或４ ２ ２１．解:(１)设直线l的方程为y＝k(x－１),代入抛物线 y２＝４x中得k２x２－(２k２＋４)x＋k２＝０, 而Δ＝(２k２＋４)２－４k４＝１６k２＋１６＞０恒成立． 设A(x,y),B(x２,y２),则 x１＋x２＝２＋ ４ k２ x１x２＝１ { ∴|AB|＝ １＋k２ (x１＋x２)２－４x１x２ ＝ １＋k２ ２＋４k２( ) ２ －４． ∴ １＋k２ ２＋４k２( ) ２ －４＝８,解得k２＝１, 即k＝±１,又∵k＞０,∴k＝１． ∴直线l的方程为y＝x－１,即x－y－１＝０ (２)由(１)得AB 的中点坐标为(３,２),所以AB 的垂 直平分线方程为y－２＝－(x－３),即y＝－x＋５,设 所求 圆 的 圆 心 坐 标 为 (x０,y０),由 勾 股 弦 可 得 y０＝－x０＋５ (x０＋１)２＝ (x０－y０－１)２ ２ ＋１６． { 解得 x０＝３ y０＝２{ ,或 x０＝１１ y０＝－６{ ,故所求圆的方程为(x－ ３)２＋(y－２)２＝１６或(x－１１)２＋(y＋６)２＝１４４． ２２．解:(１)设A(x１,y１),B(x２,y２),l:x＝my＋２, 由 x＝my＋２, y２＝２x,{ 可得y ２－２my－４＝０,则y１y２＝－４; 又x１＝ y２１ ２ ,x２＝ y２２ ２ ,故x１x２＝ (y１y２)２ ４ ＝４． 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y１x１ 􀅰y２ x２ ＝－４４ ＝－１, 所以OA⊥OB, 故坐标原点O 在圆M 上． (２)由(１)可得y１＋y２＝２m,x１＋x２＝m(y１＋y２)＋４ ＝２m２＋４ 故圆心 M 的 坐 标 为 (m２＋２,m),圆 M 的 半 径r ＝ (m２＋２)２＋m２ 由于圆 M 过 点P(４,－２),因 此AP →􀅰BP → ＝０,故 (x１－４)(x２－４)＋(y１＋２)(y２＋２)＝０ 即x１x２－４(x１＋x２)＋y１y２＋２(y１＋y２)＋２０＝０ 由(１)可得y１y２＝－４,x１x２＝４, 所以２m２－m－１＝０,解得m＝１或m＝－１２ 当m＝１时,直线l的方程为x－y－２＝０,圆心 M 的 坐标为(３,１),圆 M 的半径为 １０,圆 M 的方程为 (x－３)２＋(y－１)２＝１０ 当m＝－１２ 时,直线l的方程为２x