第2章 3.1 函数的单调性-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§3　函数的单调性和最值 第1课时　函数的单调性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数单调区间、单调性等概念．(重点) 2．会划分函数的单调区间，判断单调性．(重点、易混点) 3．会用定义证明函数的单调性．(难点) 1．通过单调区间、单调性等概念的学习，培养抽象概括素养． 2．通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养． 1．定义域为I的函数f(x)的增减性 思考：定义中的“任意x1，x2∈D”能否改成“存在x1，x2∈D”？ 提示：不能． 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 思考：函数y＝在(－∞，0)上和(0，＋∞)上都是减函数，能否说它在整个定义域上是减函数？ 提示：不能．在整个定义域上不满足减函数的定义，我们只能说(－∞，0)与(0，＋∞)分别是函数y＝的单调减区间． 1．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 (　　) A．k>　　 B．k< C．k>－ D．k<－ D　[函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数，则2k＋1<0，∴k<－.] 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] [答案]　C 3．已知函数f＝2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________． a≤4　[因为函数f， ＝2x2－ax＋5的单调递增区间是 所以[1，＋∞)⊆， 所以≤1，解得a≤4.] 4．画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间． [解]　y＝ 即y＝ 函数的大致图象如图所示， 单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为(－1，0)，(1，＋∞). 求函数的单调区间 【例1】　求函数f的单调区间．＝－ [思路点拨]　化成分段函数，作出图象，利用图象求解． [解]　f ， ＝＝－ 作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.，，递减区间为 求函数单调区间的两种方法 (1)定义法：先求出定义域，再利用定义进行判断． (2)图象法：先画出图象，再根据图象求单调区间． 1．求函数f(x)＝的单调减区间． [解]　函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝.＝－ 因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞). 函数单调性的证明 角度一　证明具体函数的单调性 【例2】　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． [证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 有f(x1)－f(x2)＝)x,x－x)＝)－ ＝).x ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x>0.x ∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2). ∴函数f (x)＝在(－∞，0)上是增函数． 对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有 f (x1)－f(x2)＝).x ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x>0.x ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数． 利用定义证明函数单调性的4个步骤 2．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性． [解]　函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下： 设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝， ＝－ 由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0， 又由x1<x2，得x1－x2<0， 于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数． 角度二　证明抽象函数的单调性 【例3】　已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数． [证明]　法一：设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2. 令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0. f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1. ∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1