第一章 空间向量与立体几何知识总结

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 1 第一章 空间向量与立体几何单元总结 要点一：空间向量的有关概念 空间向量：空间中，既有大小又有方向的量； 空间向量的表示：一种是用有向线段 表示， A叫作起点， B叫作终点； 一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用 （而手写体）表示． 向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作 或 ． AB  a  | |AB  | |a  空 间 向 量 与 立 体 几 何 空 间 向 量 及 其 运 算 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 空间向量的线性运算 空间向量的基本定理 两个向量的数量积 空间向量的直角坐标运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量分解定理 平行与垂直的条件 直线的方向向量与直线的向量方程 平面的法向量与平面的向量表示 直线与平面的夹角 二面角及其度量 距离 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 2 向量的夹角：过空间任意一点O作向量a b, 的相等向量OA  和OB  ，则 AOB叫作向量a b, 的夹角，记作  ，a b ，规定0    ，a b ．如图： 零向量：长度为 0 或者说起点和终点重合的向量，记为 0．规定：0 与任意向量平行． 单位向量：长度为 1 的空间向量，即 ． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量． 共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合． 平行于 记作 ，此时． a b    ， =0 或 a b    ， =． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释： （1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方 向，空间向量可在空间内任意平移； （2）当我们说向量 、 共线（或 // ）时，表示 、 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可 能是平行直线． （3）对于任意一个非零向量 ，我们把 a a   叫作向量 的单位向量，记作 0a  ． 0a  与 同向． （4）当 a b    ， =0 或时，向量 平行于 ，记作 ；当 a b    ， = 2  时，向量 a b   ，垂直，记作 a b   ． 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类型 几何方法 运算性质 向 量 的 加 1 平行四边形法则： OC OA AB a b         加法交换率： .abba   加法结合率： | | 1a   a  b  ba  // a  b  a  b  a  b  a  a  a  a  b  ba  // 奎屯 王新敞 新疆 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 3 法 2 三角形法则： OB OA AB a b         ( ) ( )a b c a b c          ( )a b a b        AB BC=AC    0AB BA=    向 量 的 减 法 三角形法则： BA OA OB a b         ABOAOB  向 量 的 乘 法 a 是一个向量，满足：  >0 时， a  与 a  同向；  <0 时， a  与 a  异向；  =0 时， a  =0 ( ) ( )a a     ( )a a a         ( )a b a b         a  ∥b a b     向 量 的 数 量 积 1． a b    是一个数： | || | cos( )a b a b a b        ， ； 2． 0a   ， 0b=  或 a b  ba  =0． a b b a       ( ) ( ) ( )a b a b a