5.1 数列的概念及其表示-【十年高考】备战2022年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

第五章　数列 §5.1　数列的概念及其表示 2012~2021年高考考情一览表 考点 2012~2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 57.数列的递推式和通项公式 5 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5 2 58.Sn与an的关系 4 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 5 3 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容(),属于中低档题目,主要是选择题或填空题,在解答题中也渗透进行考查,分值为4~5分,命题的重点是数列的通项公式. (2)考查方向主要有两个方面:一是考查数列的递推式与通项公式:主要考查利用递推式推到数列的通项公式以及数列的周期性等;二是考查Sn与an的关系:由两者关系推导数列的通项公式问题. (3)明智备考:一是要明确数列的递推式与通项公式的关系与区别;二是熟练掌握Sn与an的关系的灵活利用,这是准确求解数列通项公式的关键.要精准把握命题意图,找到解题的金钥匙(). 该部分属于高考常考内容,命题的关注点是以数学文化为背景的数列递推式及其应用,考查数学文化、数学运算、逻辑推理的核心素养,高三备考,抓住命题的变化方向,不能偏离啊!!! 考点 数列的递推式和通项公式　 1.(2013·全国1,理12,5分,难度★★★★)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则 (　B　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 解析因为b1>c1,不妨设b1=,c1=,p=(a1+b1+c1)=a1,则S1==; a2=a1,b2==a1,l2==a1, S2==;显然S2>S1.同理,a3=a1,b3==a1,c3==a1,S3==,显然S3>S2.可证Sn>Sn-1,∴|sn|为递增数列. 2.(2014·全国2,文16,5分,难度★★★)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　　.  答案 解析将a8=2代入an+1=,可求得a7=; 将a7=代入an+1=,可求得a6=-1; 将a6=-1代入an+1=,可求得a5=2. 由此可知数列{an}是一个周期数列,且周期为3,所以a1=a7=. 3.(2020·北京,21,15分,难度★★★★★)已知{an}是无穷数列.给出两个性质: ①对于{an}中任意两项ai,aj(i>j),在{an}中都存在一项am,使=am; ②对于{an}中任意项an(n≥3),在{an}中都存在两项ak,al(k>l),使得an=. (1)若an=n(n=1,2,…),判断数列{an}是否满足性质①,说明理由; (2)若an=2n-1(n=1,2,…),判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②,说明理由; (3)若{an}是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:{an}为等比数列. (1)解∵a2=2,a3=3,=∈Z, ∴{an}不具有性质①; (2)解∵∀i,j∈N*,i>j,=2(2i-j)-1,2i-j∈N*, ∴=a2i-j,∴{an}具有性质①; ∵∀n∈N*,n≥3,∃k=n-1,l=n-2, =2(2k-l)-1=2n-1=an, ∴{an}具有性质②; (3)证明首先,证明数列中的项数同号,不妨设恒为正数; 显然an≠0(0∉N*),假设数列中存在负项, 设N0=max{n|an<0}, 第一种情况:若N0=1,即a0<0<a1<a2<a3<…, 由①可知:存在m1,满足=<0,存在m2,满足=<0, 由N0=1可知=,从而a2=a3,与数列的单调性矛盾,假设不成立. 第二种情况:若N0≥2,由①知存在实数m,满足am=<0,由N0的定义可知:m≤N0,另一方面,am=>=,由数列的单调性可知:m>N0, 这与N0的定义矛盾,假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得,数列中的项数同号. 其次,证明a3=: 利用性质②:取n=3,此时a3=(k>l), 由数列的单调性可知ak>al>0, 而a3=ak·>ak,故k<3, 此时必有k=2,l=1,即a3=, 最后,用数学归纳法证明数列为等比数列: 假设数列{an}的前k(k≥3)项成等比数列,不妨设as=a