4.4 解三角形的应用-【十年高考】备战2022年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§4.4　解三角形的应用 2012~2021年高考考情一览表 考点 2012~2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 54.正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用 0 9 1 2 1 2 2 2 2 2 0 0 6 17 55.利用正、余弦定理解决图形问题 3 5 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 6 9 56.正、余弦定理的实际应用 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 3 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容(),属于中高档题目,主要以解答题的形式进行考查,分值为10~12分,命题的重点是三角形中基本量的求解. (2)考查方向主要有三个方面:一是考查正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用:根据已知求解三角函数值或其取值范围;二是考查利用正、余弦定理解决图形问题:将已知条件转化到三角形中,根据条件类型选择解题依据求解;三是考查正、余弦定理的实际应用:建立三角形模型,转化为边或角的求解问题. (3)明智备考:一是要正确识记三角恒等变换公式,这是解决解三角形问题的基础;二是注意三角形三边关系、内角和定理以及面积公式等,这是建立问题模型的关键.要精准把握命题意图,找到解题的金钥匙(). 该部分属于高考常考内容,命题的关注点在于三角形中的线段长度与面积的求解,考查数学运算、逻辑推理等核心素养,高三备考,准确找出角与边,化归到三角形中建立模型是关键呀!!! 考点 正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用　 1.(2020·全国3,文11,5分,难度★★★)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B=(　C　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.2 C.4 D.8 解析由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=16+9-2×4×3×=9,即AB=3. 由余弦定理的推论知 cos B===, 又cos2B+sin2B=1,解得sin B=,故tan B==4.故选C. 2.(2019·全国1,文11,5分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则= (　A　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2, 由余弦定理的推论,得-=cos A=, ∴=-,∴-=-, ∴=×4=6,故选A. 3.(2017·全国1,文11,5分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C= (　B　) A. B. C. D. 解析由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=.由正弦定理=,得=,即sin C=,所以C=,故选B. 注意转化与化归思想在解三角形中的应用;如本题中已知条件中角A,B,C都存在,则需利用A+B+C=π消去其中一个角,转化为可利用两角和差公式的形式. 4.(2018·全国1,文16,5分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　　.  答案 解析∵bsin C+csin B=4asin Bsin C, ∴sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C>0,∴sin A=. 由余弦定理得cos A===>0, ∴cos A=,bc==, ∴S△ABC=bcsin A=××=. 5.(2018·北京,文14,5分,难度★★★)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=　　　　;的取值范围是　　　　.  答案　(2,+∞) 解析由题意,得S△ABC=(a2+c2-b2)=acsin B,即=sin B,∴cos B=sin B,∴tan B=.∴B=.∴A+C=,C=-A>,∴0<A<. 由正弦定理,得====+.∵0<A<, ∴tan A∈. ∴>+,即∈(2,