1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 （基础知识+基本题型） 知识点一 空间中点、直线、平面的向量表示 1．点的位置向量 如图3．2-1，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量． 2．直线的方向向量 空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．如图3．2-2．点是直线上一点．向量表示直线的方向(方向向量)．在直线上取，那么对于直线上任意一点，一定存在实数，使得．这样，点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出上的任意一点. 拓展 线段中点的向量表达式 在中，当时，我们就可以得到线段中点的向量表达式．设点是线段的中点，则，这就是线段中点的向量表达式． 3．用直线确定平面 空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定，如图3．2-3所示． 设这两条直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，使得．这样，点与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点． 提示 (1)空间中一条直线的方向向量有无数个． (2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起着重要的作用，要结合空间实例加深理解． 知识点二 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图3．2-4．直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量．给定一点和一个向量．则过点，以向量为法向量的平面是完全确定的． 2．平面法向量的性质 (l)平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 拓展 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点三 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。 （1）线线平行 设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。 （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即。 ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。 ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。 （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。 ②若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。 知识点四、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。 （1）线线垂直 设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。 （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明。 ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。 （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。 ②证明两个平面的法向量互相垂直。 考点一 用空间向量证明平行关系 1．线线、线面平行 例1 如图3． 2-5．在正方体中，分别是的中点， 求证: 平面． 分析:证明线面平行问题，有以下三种方法:一是证明与平面的法向量垂直；二是在平面内找一个向量与共线；三是证明可以用平面中的两个不共线向量线性表示． 证明:方法1:如图3．2-6，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1．则 所以 设平面的一个法向量为， 则，从而可得，解得 令，则，所以． 因为，所以． 又因为平面，所以平面． 方法2:因为 所以， 从而可知平面． 方法3:因为 所以可用与线性表示．故与和是共面向量． 所以平面，即平面． 2．面面平行 例2 已知正方体，求证:平面 //平面. 证明:方法1:设正方体的棱长为1，建立如图3.2-7所示的空间直角坐标系 则． 设平面的法向量为 又因为，， 所以，即． 令，可得平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 又因为，，所以，即． 令，可得平面的一个法向量为． 因为，所以．所以平面平面． 方法2：由方法1，得，，， 所以，，即，． 所以平面，平面． 又因为，所以平面平面． 利用空间向量证明面面平行有两种方法： （1）求出两平面的法向量，通过证明两平面的法向量平行得证． （2）将法向量和综合法相结合，从而避免了求平面法向量的复杂计算． 考点二 用空间向量证明垂直关系 1. 线线、线面垂直 例3 在正方体中，，分别为，的中点，求证：平面． 分析：方法1：通过验证与平面内两条相交直线的方向向量垂直，证明平面； 方法