1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（同步课件）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版2019 选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题． 我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键．本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、 平面的位置关系和度量问题． 1．空间中点、 直线和平面的向量表示 我们知道，点、 直线和平面是空间的基本图形，点、 线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素因此，为了用空间向量解决立体儿何问题，首先要用向量表示空间中的点、 直线和平面． 思考： 如何用向量表示空间中的一个点． O P 图1.4-1 A B P l 图1.4-2 思考 我们知道， 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l． 如何用向量表示直线l? 用向量表示直线l ， 就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点． O A B P l 图1.4-3 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 你能证明这个结论吗？ 思考 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ O P 图1.4-4 O A B C P 图1.4-5 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． P 图1.4-6 A l 我们知道，给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面． A B C D D1 A1 B1 C1 M x y z 图1.4-7 A B C D D1 A1 B1 C1 M x y z 图1.4-7 2．空间中直线、平面的平行 我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量．那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题． 思考 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？ l1 l2 图1.4-8 l 图1.4-9 图1.4-10 a b P 例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． a b P A B C D D1 A1 B1 C1 x y z P A B C D D1 A1 B1 C1 x y z P A B C D D1 A1 B1 C1 x y z P 3．空间中直线、平面的垂直 思考 类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直； 直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行； 平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． l l1 l2 (1) (2) (3) B C D D1 A1 B1 C1 A B C D D1 A1 B1 C1 A l 例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． $