2.3.1 离散型随机变量的均值-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-3同步资源（人教A版）

高中数学 离散型随机变量的均值与方差 内容：离散型随机变量的均值 知识点一、离散型随机变量的均值或数学期望 1．离散型随机变量的均值或数学期望 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， (1)Y也是随机变量； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 知识点　两点分布、二项分布的均值 (1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p. (2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 知识点二、 要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论： (1)E(C)＝C(C为常数)； (2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)； (3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． 自诊小测 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.(　　) 2．做一做 (1)若随机变量η的分布列为 η 0 1 2 P 0.2 0.3 m 则η的数学期望E(η)＝________. (2)设随机变量X～B(16，p)，且E(X)＝4，则p＝________. (3)设口袋中有黑球、白球共7个，从中有放回地依次任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为________． 探究1　　求离散型随机变量的均值 例1　袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望． 　盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． 探究2　　均值性质的应用 例2　已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3. ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b (1)求b； (2)求a； (3)若η＝2ξ－3，求E(η)． 　已知随机变量ξ的分布列为 ξ －1 0 1 P m 若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝________. 探究3　　离散型随机变量均值的实际应用 例3　某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响． (1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列； (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望． 　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X. (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 课堂小测 1．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝(　　) A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22 ξ 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 2．已知随机变量ξ的分布列为 若E(ξ)＝7.5，则a等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 3．抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的数学期望为________． ξ 1 2 3 P ？ ！ ？ 4．随机变量ξ的概率分布列如下表： 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E(ξ)＝________. 5．交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望． $高中数学 离散型随机变量的均值与方差 内容：离散型随机变量的均值 知识点一、离散型随机变量的均值或