3.3 三角函数的综合应用-【十年高考】备战2022年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§3.3 三角函数的综合应用 2012~2021年高考考情一览表 考点 2012~2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 42.三角函数的最值 4 5 3 1 0 1 1 1 0 1 0 0 8 9 43.三角函数图象和性质的综合应用 0 7 0 1 2 2 1 0 1 1 0 0 4 11 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容(),属于中档题,主要是选择题或填空题,解答题考查的频率有所降低,命题的重点是考查三角函数的最值和图象的综合应用. (2)考查方向主要有两个方面:一是考查三角函数的最值:研究给出的解析式的三角函数的最值问题;二是考查三角函数图象和性质的综合应用:与三角函数化简求值、三角函数的图象与性质等的综合应用. (3)明智备考:一是要熟练掌握利用三角恒等变换公式化简,化为一角一函数是研究三角函数图象与性质的基础;二是要灵活运用三角函数图象,利用图象的直观性解决相关问题.要精准把握命题意图,找到解题的金钥匙(). 该部分属于高考常考内容,命题的关注点在于三角函数的化简与最值的结合,多选题题型的出现,使得三角函数的图象与性质成为此类题型的选材热点,对三角函数图象与性质考查比较综合,备考要注意“角的范围”“角的变换”“角的函数值”这三个方面,考查数学运算、逻辑推理等核心素养,高三备考,抓住命题的变化方向,不能偏离啊!!! 考点 三角函数的最值　 1.(2019·北京,文8,5分,难度★★★)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 (　B　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β 解析(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr2=4β为定值,S△OAB=|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为(2|OA|sin β)(OP+|OA|cos β)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sin β,故选B. (方法二)观察图象可知,当P为弧AB的中点时,阴影部分的面积S取最大值,此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为βr2+S△POB+S△POA=4β+|OP||OB|sin(π-β)+|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sin β=4β+4sin β,故选B. 2.(2017·全国3,文6,5分,难度★★)函数f(x)=sin+cos的最大值为 (　A　) A. B.1 C. D. 解析因为cos=cos-=sin,所以f(x)=sin+sin=sin,故函数f(x)的最大值为.故选A. 要求f(x)的最值,需将f(x)中的式子合并,整理成y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助y=sin x的性质求最值. 3.(2016·全国2,文11,5分,难度★★)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为 (　B　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2+,而sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取最大值5,故选B. 4.(2020·北京,14,5分,难度★★★)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　.  答案 解析∵sin(x+φ)≤1,cos x≤1,f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2, ∴sin(x+φ)=1,cos x=1. 此时x=2kπ,k∈Z. 则sin(x+φ)=sin φ=1. 于是φ=+2kπ,k∈Z. 故可选当k=0时,φ=. 5.(2019·全国1,文15,5分,难度★★)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为　　　　　.  答案-4 解析f(x)=sin-3cos x =-cos 2x-3cos x =-2cos2x-3cos x+1 =-2+. ∵-1≤cos x≤1, ∴当cos x=1时,f(x)min=-4. 故函数f(x)的最小值是-4. 6.(2017·全国2,理14,5分,难度★★)函数f(x)=sin2x+co