湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题

长沙市第一中学2020—2021学年度高二第一学期入学考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分______ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（ ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个白球 C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是白球 3．已知函数分别由下表给出： x 1 2 3 2 1 1 x 1 2 3 3 2 1 则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图是某校举行的诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） 7 8 9 9 4 4 6 4 7 3 A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,1.6 D．85,0.4 5．如图，在棱长为2的正方体中，的中点是P，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为（ ） A． B． C． D．4 6．在中，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 7．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，且，则与平面所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 8．已知圆的圆心为C，点P是直线上的点，若该圆上存在点Q使得，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9．已知中，角所对的边分别是且以下四个命题中正确的有（ ） A．的面积的最大值为40 B．满足条件的不可能是直角三角形 C．当时，的周长为15 D．当时，若O为的内心，则的面积为 10．下列叙述正确的是（ ） A．频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小 B．做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率 C．百分率是频率，但不是概率 D．频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是确定性的不依赖于实验次数的理论值 11．已知，则（ ） A．任意有 B．存在使得 C．任意有 D．存在使得 12．设等差数列的前n项和是，已知，正确的选项有（ ） A． B．与均为的最大值 C． D． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知数列的前n项和为，通项公式，则________． 14．已知，则______． 15．在平面直角坐标系中，已知点分别为x轴、y轴上一点，且，若点P的坐标为，则的取值范围是________． 16．已知函数，关于x的方程恰有6个不同实数解，则a的取值范围是______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分） 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）求满足且的x的集合． 18．（12分） 已知四棱锥如图所示，为等边三角形． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 19．（12分） 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y（件） 90 84 83 80 75 68 （1）求回归直线方程，其中； （2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润销售收入成本） 20．（12分） 在中，角的对边分别为，且满足． （1）求角C的大小； （2）若，求面积的最大值． 21．（12分） 设无穷等差数列的前n项和为，已知． （1）求与的值； （2）对任意的正整数n，不等式恒成立，试求实数的取值范围． 22．（12分） 已知函数，且． （1）求的解析式； （2）已知的定义域为． （i）求的定义域； （ⅱ）若方程有唯一实根，求实数k的取值范围． 长沙市第一中学2020—2021学年度高二第一学期入学考试 数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案