专题02 根的判别式与韦达定理-【挑战压轴题】2021-2022学年九年级数学上学期压轴题专题精选汇编（人教版）

2021-2022学年人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编 专题02 根的判别式与韦达定理 一．选择题 1．（2021春•九龙坡区期末）若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜ B．a＜且a≠﹣1 C．a＞ D．a＞且a≠﹣1 【思路引导】根据关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根知（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0，解之即可． 【完整解答】∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0， 解得a＜且a≠﹣1， 故选：B． 2．（2021春•潜山市期末）利用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应先将其变形为（　　） A．（x+）2＝ B．（x﹣）2＝ C．（x﹣）2＝ D．（x+）2＝ 【思路引导】移项，配方，再变形即可得出选项． 【完整解答】x2﹣x﹣1＝0， 移项，得x2﹣x＝1， 配方，得x2﹣x+（）2＝1+（）2， 即（x﹣）2＝， 故选：B． 3．（2021春•上城区期末）下列方程的根是无理数的是（　　） A．（x+）（x﹣）＝﹣4 B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2 C．x2+4x﹣3＝0 D．2x2﹣7x＝0 【思路引导】先求出选项中每个方程的解，再逐个判断即可． 【完整解答】A．（x+）（x﹣）＝﹣4， x2﹣5＝﹣4， x2＝1， x＝±1，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2， 开方得：2x﹣1＝±（3x+1）， 解得：x1＝﹣2，x2＝0，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； C．x2+4x﹣3＝0， x2+4x＝3， 配方，得x2+4x+4＝3+4， （x+2）2＝7， 开方，得x+2＝， 解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣，即方程的根是无理数，故本选项符合题意； D．2x2﹣7x＝0， x（2x﹣7）＝0， x＝0或2x﹣7＝0，， 解得：x1＝0，x2＝，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（2021春•拱墅区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥ B．k≥且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 【思路引导】根据根的判别式得出k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，再求出k的范围即可． 【完整解答】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根， ∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0， 解得：k≥且k≠1， 故选：B． 5．（2021春•合肥期末）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣1 【思路引导】设y＝a2+b2，用十字相乘法因式分解，解关于y的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去． 【完整解答】设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4． 整理，得（y﹣4）（y+1）＝0． 解得y＝4或y＝﹣1（舍去）． 即a2+b2的值为4． 故选：A． 6．（2021春•安徽期末）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（　　） A．4 B．9 C．12 D．15 【思路引导】由α、β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，可得α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，在将（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）进行适当的变形，即可求出结果． 【完整解答】∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根， ∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1， ∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2） ＝（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β） ＝9αβ ＝9， 故选：B． 7．（2021•庐阳区校级一模）已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（　　） A．a＞0，b2≥4ac B．a＞0，b2≤4ac C．a＜0，b2≥4ac D．a＜0，b2≤4ac 【思路引导】设y＝ax2+bx+c，由题意可得b2﹣4ac≥0，再由a+c＝﹣b，a+c＞b，ab＜0，得a、b的符号． 【完整解答】设y＝ax2+bx+c， ∵a+b+c＝0，a﹣b+c＞0 ∴方程ax2+bx+c＝0有实数根， 即b2﹣4ac≥0． 由题意知，a+c＝﹣b，a+c＞b， ∴﹣b＞b， 即b＜0， 又∵ab