第28章 锐角三角函数【培优卷】-2021-2022学年九年级数学下册同步必刷基础拓展单元卷（人教版）

第28章 锐角三角函数 培优卷 满分120分 一、单选题 1. ( 3分 ) 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则的值是（    ） A.                                           B.                                           C.                                           D.  【答案】 C 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】正切的定义：正切=对边：邻边 【解答】由图可知= ， 故选C. 【点评】本题是基础应用题，只需学生熟练掌握正切的定义，即可完成. 2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（   ） A. 2                                      B.                                       C. 2                                       D. 4 【答案】 B 【考点】含30°角的直角三角形，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60° ∴∠A=30° ∵CD=2，DE=1， ∴AD=2，AC=AD+DC=4， 由∠A=∠A，∠DEA=∠C=90°，得 △ABC∽△ADE， ∴ = ∴ = ∴BC= ． 故答案为：B． 【分析】根据含30角的三角形的边的关系得出AD=2，进而得出AC=AD+DC=4，然后判断出△ABC∽△ADE，，根据相似三角形对应边成比例得出=,从而得出答案。 3. ( 3分 ) 如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（   ） A.                                        B.                                        C.                                        D.  【答案】 D 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：如图所示： 由题意，得：tanα=i= = ， 设竖直直角边为5x，水平直角边为12x， 则斜边= =13x， 则cosα= = ． 故选D． 【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值． 4. ( 3分 ) 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边 交 于点 ，连接 ，则下列说法中：① ；② ；③tan∠AFE=3；④ 正确的有(   ) A. ①②③                                  B. ②④                                  C. ①④                                  D. ②③④ 【答案】 D 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，计算器—三角函数 【解析】【解答】证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG．如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=∠D=90°， ∴∠ABG=90°=∠D， ∵△ABG和△ADF中，   ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG=AF，∠1=∠2， 又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°， ∴∠2+∠3=45°， ∴∠1+∠3=45°， ∴∠GAE=∠EAF=45°． 在△AEG和△AEF中，   ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴GE=EF， ∵GE=BG+BE，DF=BG， ∴EF=DF+BF，故②符合题意， ∵BE=EC=3，AB=6， ， ∴∠3≠30°，故①不符合题意， 设DF=x，则EF=x+3， 在Rt△EFC中，∵EF2=CF2+EC2 ， ∴（x+3）2=32+（6-x）2 ， ∴x=2， ∴DF=BG=2， ，故③符合题意， ，故④符合题意． 故答案为：D． 【分析】延长延长CB到G，使BG=DF，连接AGCB到G，使BG=DF，连接AG，根据已知条件判定△ABG≌△ADF（SAS），对应角相等，再判定△AEG≌△AEF（SAS）。因此可得出GE=EF，GE=BG+BE，DF=BG，所以EF=DF+BF。设DF=x，在直角三角形ECF中，勾股定理即可求x，即而求出tan∠AF