第一章 函数的单调性与导数-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-2同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：函数的单调性与导数 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导 (1)若在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是单调递增的． (2)若在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内是单调递减的． 2．求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)计算f′(x)，令f′(x)＝0，求零点． (3)用零点和不连续点(或不可导点)将定义域分成若干区间(若无不连续点或不可导点，则直接用零点划分区间)． (4)判断f′(x)在每个区间的符号，确定函数f(x)的增区间和减区间． 3.函数的增减快慢与导数 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些． 如图，函数y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内“平缓”． 说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行． 题型一：函数与导函数图象之间的关系 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) 2．做一做 (1)函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的． (2)若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为________． (3)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________． 3.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) 题型二：求函数的单调区间 5.求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝； (3)f(x)＝－x3＋3x2；(4)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)． 6.求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex；(2)y＝x3－2x2＋x； (3)y＝x＋sinx，x∈(0，π)；(4)y＝ax－a－x(a>0且a≠1)． 题型三：应用函数单调性求参数范围 7.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间[6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围． 8.已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围． 题型四：利用导数证明不等式 9.求证：当n∈N*，且n≥3时，2n＞2n＋1. 10.已知函数f(x)＝ln x－. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)证明：当x>1时，f(x)<x－1. 综合小测试 1．下列命题中正确的是(　　) A．若f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)都有f′(x)＞0 B．若在(a，b)上对任意x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上是增函数 C．若f(x)在(a，b)上是单调函数，则f′(x)也是单调函数 D．若可导函数f(x)在(a，b)上有f′(x)＜0，则在(a，b)上有f(x)＜0 2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ 3．函数f(x)＝xln x的单调递减区间为________． 4．设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 5．判断函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性． 巩固小练 1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 2．函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A． B． C． D． 3．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数的图象大致为（ ） A．B． C． D． 4．函数在定义域内可导，其图像如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．若函数的单调递增区间是，则的值为（ ） A． B．2 C． D．6 6．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.（2018重庆