第三章 空间向量运算的坐标表示-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-1同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：空间向量运算的坐标表示 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2．空间向量的平行与垂直的坐标表示 平行或垂直 平行或垂直条件的坐标表示 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 平行(a∥b) a∥b⇔a＝λb⇔(λ∈R且b≠0) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 3．空间向量的长度公式及夹角的坐标表示 (1)空间向量长度公式的坐标表示 ①若a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝ ＝ ＝ ，即|a|＝ .②空间两点间的距离公式 已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， a.＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． b．dAB＝||＝ . (2)向量的夹角坐标公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则cos〈a，b〉＝＝. 题型一：空间向量的坐标运算 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则＝＝.(　　) (2)空间向量a＝(1,1,1)为单位向量．(　　) (3)若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)．(　　) 2．做一做 (1)(教材改编P97T1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 (2)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则＝________. (3)若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则x＝________，y＝________. (4)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝________. 3.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． 4.已知a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)，求： (1)a＋b； (2)2a－3b； (3)a·b； (4)(a＋b)·(a－b)． 题型二：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 5.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，求点M的坐标． 6.(1)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝，b＝. (ⅰ)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值； (ⅱ)设|c|＝3，c∥，求c. 题型三：利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离问题　　 7.(1)已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围； (2)棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (ⅰ)求证：EF⊥CF； (ⅱ)求与所成角的余弦值； (ⅲ)求CE的长． 8.(1)已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(　　) A. B. C. D. (2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　) A．0 B. C．－ D. 综合小测试 1．与a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为(　　) A．(1,7,5) B．(1，－7,5) C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5) 2．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　) A．(1,1,1) B．(－2，－3,5) C．(2，－3,5) D．(－4,6，－2) 3．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为(　　) A. B. C. D. 4．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为________． 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线A1B与B1C所成角的余