第三章 空间向量及其加减运算-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-1同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：空间向量及其加减运算 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间向量 (1)定义 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度 向量的大小叫做向量的长度或模． (3)表示方法 (4)几类特殊的空间向量 ①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0. ②单位向量：模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a. ④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 2．空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： ＝＋＝a＋b； ＝－＝a－b. (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 题型一:空间向量的概念 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．(　　) (2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(　　) (3)0向量是长度为0，没有方向的向量．(　　) (4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.(　　) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，－＋化简后的结果是________． (3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式： ①－＝________. ②＋＋＝________. ③＋－＝________. (4)(教材改编P86T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________. 3.给出下列命题： ①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4.(1)给出下列四个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量与向量的长度相等．其中正确命题的序号为________． (2)给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则－a＝0；③|－a|＝|a|，其中正确命题的序号是________． 题型二：空间向量的加减运算 5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　　) ①(－)－；②(＋)－；③(－)－； ④(－)＋. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 6.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(　　) A.＋＋＝0 B.－－＝0 C.＋－＝0 D.－＋＝0 题型三：空间向量证明题 7.在如图所示的平行六面体中． 求证：＋＋＝2. 8.借助平行六面体，证明：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 综合小测试 1．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A．a＝b B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3 2．已知空间向量，，，，则下列结论正确的是(　　) A.＝＋ B.－＋＝ C.＝＋＋ D.＝－ 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确结论的序号为________． ①＋与＋是一对相反向量； ②－与－是一对相反向量； ③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量； ④－与－是一对相反向量． 5．下图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为的所有向量； (3)试写出与相等的所有向量； (4)试写出的相反向量． 巩固小练 一、选择题 1．下列命题正确的有(　　) ①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若a≠b，则a与b的方向不同；④