第五章 三角函数（提分小卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数 提分小卷 （考试时间：30分钟 试卷满分：65分） 一、单选题（共25分） 1．（2021·威远中学校高一月考）（ ） A．－4 B．4 C．－2 D．2 【答案】A 【分析】结合降幂公式以及辅助角公式化简整理，在利用诱导公式即可求出结果. 【详解】 ，故选A. 2．已知，为锐角，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数基本关系式，求出，再利用角变换，利用两角差的余弦公式求得答案． 【详解】由是锐角，，则， 又，是锐角，得， 又，则， 则 .故选：B． 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分析式子特点，，利用和差角公式得出，即；以及为锐角，为钝角，则，但，充分性不成立，从而得解. 【详解】当时，，均为锐角，，即，故，则，则，必要性成立； 若为锐角，为钝角，则，但，充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件.故选B 【点睛】根据题目信息进行转化处理，并会举反例来进行说明，要求对三角函数的变形以及充分必要性熟练掌握. 4．（2021·齐河县第一中学高一期中）某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（ ） （参考数据：） A．50 B．38 C．27 D．15 【答案】C 【分析】作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度. 【详解】设走了3分钟到达（如图所示）， 走过的圆心角为， ， 因为 ， 所以， 所以 所以， 所以建筑物的高度： 故选：C 5．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解. 【详解】令，解得，， 而函数在区间上单调递增， 所以，解得， 当时，， 因为在区间上有且仅有一个解，所以，解得. 综上所述，的取值范围是，故选D. 【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去. 二、多选题（共10分） 6．（2021·安徽高一期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．点是的对称中心 B．直线是的对称轴 C．在区间上单调减 D．的图象向右平移个单位得的图象 【答案】CD 【分析】由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为. 【详解】 由图知：且，则， ∴，可得， 又过， ∴，得，又， ∴当时，. 综上，. A：代入得：，故错误； B：代入得：，故错误； C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确； D：，故正确； 故选：CD 【点睛】 关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式. 7．（2021·江苏高一期中）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A．在区间上单调递增 B．是的一个周期 C．的值域为 D．的图象关于轴对称 【答案】CD 【分析】代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以， ， 所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误； 对于B：， 所以不是的一个周期，故B错误； 对于C：，所以的周期为， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上：的值域为，故C正确； 对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确， 故选：CD 【点睛】 解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题. 三、填空题（共10分） 8．（2021·上海高一期中）已知点,将绕坐标原点顺时针旋转至,则的坐标为__________ 【答案】 【分析】利