第12课 角平分线进阶-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

学科网（北京）股份有限公司 第12课 角平分线进阶 目标导航 模块一 角平分线模型导角 模块二 角平分线条件型全等 模块三 内心导边 知识精讲 知识点01 角平分线模型导角 1．常见导角模型 两内角平分线交于D： 一内一外角平分线交于D： 两外角平分线交于D： 2．内心 三角形的三条内角平分线交于一点，这一点叫做三角形的 ．如图1，I是△ABC的内心， ． 有时题目中只给出三角形的内心和两个顶点的连线，此时可以考虑连接内心与第三个顶点， 则它也是一条角平分线． 图1 图2 3．旁心 三角形的一条内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即三角形的 ． 如图2，点D是△ABC的旁心， ． 题目中常常只给出三角形的旁心和两个顶点的连线，此时我们可以考虑连接旁心与第三个顶点， 则它也是一条角平分线． 知识点02 角平分线条件型全等 把一个角沿它的角平分线翻折，则它的两条边会完全重合，那么与这个角平分线有关的三角形也会翻折重合．我们常常利用这个特点，通过构造对称的三角形来解决含有角平分线条件的几何题．例如，角平分线常见的“双垂”、“截长全等”、“延长等腰”型辅助线，都是利用角平分线的对称性来构造全等三角形． 双垂 延长等腰 截长全等 知识点03 内心导边 如图，△ABC的三条内角平分线交于点I，IG⊥AC于G，IH⊥AB于H，IK⊥BC于K，记IG长为r，则： （1）IG＝IH＝IK＝r，AH＝AG，BH＝BK，CG＝CK，3组对称全等； （2）； （3） （4）若∠BAC＝90°，则四边形AHIG是正方形，可得 能力拓展 考法01 角平分线模型导角 【典例1】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． （应用）如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 【典例2】在△ABC中，证明三个外角平分线所在的直线相交构成的三角形是锐角三角形. 【典例3】如图，△ABC中，∠A＝40°，BD、CE是角平分线，则∠BEC＋∠BDC＝( ) A．130° B．140° C．150° D．160° 【综合运用1】在直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点是A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），D是线段上AB任一点，直线OD交直线AC于E．∠ADO和∠ABO的平分线交于点P． （1）若，求A、B、C的坐标，并求△ABC的面积． （2）若E点在AC的延长线上，∠ACB与∠AED的平分线交于Q点，下面两个结论：①∠P＋∠Q的值不变；②∠P－∠Q的值不变：其中只有一个是正确的，请选择正确的结论并给出证明． （3）若E点在CA的延长线上，∠ACB与∠AED的平分线交于Q点，请画图，第（2）问的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，∠P和∠Q是否存在其它的关系？试探索，并说明理由． 【综合运用2】在△ABC中，∠B＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°． （1）求证：点E到AC和BD的距离相等； （2）连接ED，求∠CED的度数． 【即学即练1】如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=74°，∠ABC=46°，且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠BDC的度数为 。 【即学即练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC交BC于D，CG平分∠ACB的外角交BA延长线于G，连DG交AC于F．连BF．则∠BFD＝ ． 考法02 角平分线条件型全等 【典例4】已知△ABC．如图，若∠BAC的平分线过BC的中点D，猜想AB和AC的关系并证明． 【即学即练1】 如图所示，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E．求证：． 【典例5】已知：BF平分△ABC的外角∠ABE，D为BF上一动点． （1）若DA＝DC，求证：∠ABC＝∠ADC． （2）在点D运动过程中，试比较BA＋BC与DC＋DA的大小，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北