专题8 二次函数与一元二次方程、不等式（2）-2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019） 专题8 二次函数与一元二次方程、不等式（2） 题型一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 1．已知不等式的解集为，且不等式的解集为，则的解集是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】又因为不等式的解集为， 则， 又，， 则不等式即为，即， 由于不等式的解集为，则，解得，. 不等式即为，即为，解得. 故选：B. 2．若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】当时，恒成立， 当时，利用二次函数图象知，则 解得， 所以实数a的取值范围是 3．已知不等式的解集为． （1）解不等式； （2）b为何值时，的解集为R？ 【答案】（1）或；（2）． 【解析】（1）由题意知且－3和1是方程的两根， ∴ 解得. ∴不等式，即为， 解得或. ∴所求不等式的解集为或； （2），即为， 若此不等式的解集为，则， 解得. 4．对任意，函数的值恒大于零，求的取值范围. 【答案】不存在这样的实数，使函数的值恒大于零. 【解析】①当时，函数的值不恒大于零，不符合题意，舍去； ②当时，要使得对任意，函数的值恒大于零， 则满足，即， 此不等式组无解，故. 综上知，不存在这样的实数，使函数的值恒大于零. 5． （1）关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围． （2）若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围． 【答案】（1） m<－2；（2）m<－2和x>3 【解析】（1）首先将分式不等式变形，分离出参数m，将求m范围转化为二次函数求最值问题；（2）将不等式变形为（x－1）p＋x2－4x＋3>0，结合一次函数性质得到关于p的不等式，求解p的取值范围 试题解析：（1）∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2>0， ∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6， 即2x2－8x＋6－m>0． 要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0对任意实数x恒成立． ∴Δ<0，即64－8（6－m）<0，整理并解得m<－2． （2）∵x2＋px>4x＋p－3，∴（x－1）p＋x2－4x＋3>0． 令g（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3， 则要使它对0≤p≤4均有g（p）>0， 只要有．∴x>3或x<－1． 题型二 一元二次不等式其他恒成立问题 1．若，不等式恒成立，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数的图象，并截取在内的部分如图所示（实线部分），由图象知，当时，取得最小值，所以 故选：A. 2．若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】若当时，恒成立， 则函数在时的最小值恒大于等于 二次函数图像的对称轴为直线： ①当时，函数在时取得最小值， ，解得： ②当时，函数在时取得最小值 ，解得： ③当时，函数在时取得最小值 ，解得： 综上所述：实数的取值范围为 故答案为 3．（1）当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． （2）对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围． 【答案】（1）{m|m<－5}；（2）{a|a<1}． 【解析】（1）令y＝x2＋mx＋4．∵y<0在1≤x≤2上恒成立．∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2． 如图所示： 可得，∴m的取值范围是{m|m<－5}． （2）∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立． ∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.∵－1≤x≤1，∴x－2<0．∴. 令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a<1．故a的取值范围为{a|a<1}． 4．若关于x的不等式对于满足的一切实数x恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】∵∴不等式可转化为. 令. ∵∴当,即时,函数取得最大值, ∴ 5．（1）当，时，求关于的不等式的解集； （2）若时，对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵，时，关于的不等式可化为，解得， ∴所求不等式的解集为. （2）当时，对任意恒成立， ∴对任意恒成立， 又当时，取得最小值，为， ∴，即实数的取值范围是. 题型三 一元二次不等式有解问题 1．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原不等式在内有解等价于在内有解， 设函数， 所以原问题等价于 又当时，， 所以. 故选：A. 2．当时，不等式有解，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】解：由题知，且，所以方程恒