专题7 基本不等式（2）-2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019） 专题7 基本不等式（2） 题型一 条件等式求最值 1．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】已知， 由得，即， 令， 所以，所以， 故 ， 当且仅当即时，取等号. 故答案为：． 2．已知正实数x，y满足，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】解：正实数x，y满足，且 所以，即，也即 则 当且仅当，即，则时取等号， 此时，所以取得最小值． 故答案为：． 3．已知，，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】因为，，， 所以， 又，则 ＝， 其中等号成立的条件：当且仅当， 解得，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 4．若正实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 ，即 又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为 ，即 ，那么，所以 的最大值是 . 5．求下列函数的最值 （1）求函数的最小值. （2）若正数，满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2）5. 【解析】（1），当且仅当即时等号成立， 故函数的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当,即，时等号成立， 故的最小值为5. 题型二 基本不等式的恒成立问题 1．已知，为正实数，且，若对于满足条件的、恒成立，则的取值范围为.（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将变形为， 所以， 当且仅当时，即时取等号. 恒成立等价于恒成立，即，所以 故选：A. 2．已知、都为正数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】、都为正数，且，由基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立， 所以，的最小值为，. 3．已知正实数x，y满足． （1）求xy的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），解得， 当且仅当，取等号， ∴最大值为． （2）， 当且仅当，取等号， ∴，解得． 4．设，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】由知，，. 原不等式等价于. 要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于即可. 当且仅当，即时，等号成立. 5．已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】∵，，∴不等式恒成立等价于恒成立. 又，∴（当且仅当时，等号成立）， ∴，解得（舍去）或， ∴实数的取值范围为. 题型三 对勾函数求最值 1．设，均为负数，且，那么有（ ）. A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】D 【解析】设，，则，.由得. 由函数的图像得，当时，在处取得最小值， ，当且仅当时取等号成立. 综上可得，有最小值. 故选D. 2．已知，则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 【答案】D 【解析】解：由得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：. 题型四 基本不等式的应用 1．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得，，则， 因为， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故选：B 2．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接．作交于．由可以证明的不等式为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由射影定理可知，即， 由得， 故选：． 3．工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为___________千米时，运费与仓储费之和最小. 【答案】2 【解析】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元， 设； 当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元， 所以，，则； 所以运费与仓储费之和为， 因为，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小为万元. 故答案为：2 4．已知实数a，b满足，则最大值为______. 【答案】. 【解析】由， 得， 由基本不等式得，当且仅当取等号， 所以， 所以， 解得， 所以最大值为. 故答案为： 5．已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 【答案】矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大. 【解析】设矩形的长为，宽为， ∵矩形的周