专题7 基本不等式（1）-2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019） 专题7 基本不等式（1） 题型一 由基本不等式比较大小 1．设，其中，是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，都是正实数，且， ∴，即， 又∵， ，即， ∴， 故选B. 2．已知，，，，，则，，的大小关系为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，，故，则，即， 结合可得：，两边乘以可得：，即. 据此可得：. 故选D. 3．已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A．因为，所以，所以，取等号时，故正确； B．因为，取等号时，故正确； C．因为，取等号时，故错误； D．因为，所以，取等号时，故正确. 故选：ABD. 4．设，，下列不等式恒成立的是（ ）. A． B． C． D． E.若，则 【答案】ABC 【解析】解：对于选项A，由于，，故A恒成立； 对于选项B，由于，，，当且仅当时，等号成立，故B恒成立； 对于选项C，由于，，，当且仅当时，等号成立，故C恒成立； 对于选项D，当时，，故D不恒成立； 对于选项E，，，，当且仅当时，等号成立.故E不恒成立， 即不等式恒成立的是ABC， 故选ABC. 题型二 由基本不等式证明不等关系 1．若，，，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以，所以A不正确； 对于B，若，设，得， 所以 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C，因为，由，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以C不正确； 对于D，由上面可知，则，得，所以D不正确； 故选：B 2．已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证：(-1)(-1)(-1)≥8． 【答案】证明见解析 【解析】主要考查不等关系与基本不等式． 证明：因为a, b, c且a+b+c=1，所以． 3．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. 【答案】证明见解析 【解析】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝ ， ＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋， ≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c时取等号， 所以＋＋>9. 4．已知，，，求证：. 【答案】见解析 【解析】 ，. ，，. ∴成立，故原不等式成立. 5．已知,求证:. 【答案】见解析 【解析】设,则, 且. 同理,. 所以原不等式的左边 . 当且仅当,且,即时,等号成立. 题型三 基本不等式求积的最大值 1．如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为（ ）（单位：cm2）. A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【解析】设BC=x，连结OC，得OB=，所以AB＝2， 所以矩形面积S＝2，x∈（0，4）， S＝2 ． 即x2＝16﹣x2，即x＝2时取等号，此时 故选：C 2．已知为正数，，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】，当且仅当时，取得最大值. 故选：D 3．(1)已知x,,求的最大值; (2)求满足对a,有解的实数k的最大值,并说明理由. 【答案】(1) (2) .见解析 【解析】(1)∵x,, ∴, 当且仅当时,对等号, ∴当时,的最大值为. (2)∵a,, ∴设,,,, ∴, ∵满足对a,有解的实数k的最大值, ∴, ∴,解得, ∴满足对a,有解的实数k的最大值为. 4．我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值. （1）对于三元基本不等式请猜想：设 当且仅当时，等号成立（把横线补全）. (2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明： 设求证： (3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值： 设求的最大值. 【答案】（1）（2）证明见解析（3） 【解析】（1）通过类比,可以得到当,,时,当且仅当时,等号成立； （2）证明：,,,由（1）可得, （3）解：由（1）可得,,即,由题,已知,,,,,，, 当且仅当,即时取等,即的最大值为 5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝λ，若△ABC面积的最大值为9，求λ的值． 【答案】 12 【解析】S△ABC＝absin C＝ab， 根据基本不等式 , 当且仅当a=b时，等号成立, ∴S△ABC＝ab≤·，令＝9，解得λ＝12. 题型四 基本不等式求和的最小值 1．设x，y均为正数，且xy+x-y-10=0，则x+y的最小值是_