专题6 等式性质与不等式性质-2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019） 专题6 等式性质与不等式性质 题型一 由不等式性质比较数（式）大小 1．若，，且，，则，，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 因为，，所以或，而，，所以． 所以． 故选：A． 2．已知，下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，且则 【答案】B 【解析】若则，A不正确； B：因为，，则，所以，故B正确； C：当时，可得不等式不成立，故C不正确． D：若，满足条件，但，所以D不正确. 故选：B． 3．已知，若，且，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，，，， 对于A，，，，A正确； 对于B，当时，满足，此时，B错误； 对于C，，，，又，，C正确； 对于D，，，，即，整理可得：，D正确. 故选：ACD. 4．已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意可知，正确； 对于B，因为，所以，正确； 对于C，即，错误； 对于D，，正确. 故选：ABD 5．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A项，，故A正确； 对于B项，，结合可得，故B正确； 对于C项，，，即，故C正确； 对于D项，当时，，故D错误； 故选：ABC 题型二 作差法比较代数式大小 1．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（ ） A．a2＜b2 B．a2b＜ab2 C． D． 【答案】C 【解析】对于A，取，则，但，故A错误. 对于B，取，则，但，故B错误. 而，故D错误. 对于C，因为，故，故C正确. 故选：C. 2．设，，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵ , ∴ . 故选：A. 3．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是（ ） A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 【答案】B 【解析】， . 故选：B 4．已知均为实数，下列命题正确的有（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．如果，，则 【答案】ABCD 【解析】对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，因为，又，即，所以，故B正确； 对于C，因为，又，即，所以，故C正确； 对于D，因为，，，所以，故D正确． 故选：ABCD 5．已知，则的大小关系是________．(用“”连接) 【答案】 【解析】由题意不妨取， 这时. 由此猜测：下面给出证明： ， 又 ,. 又∵，， 又∵， 综上所述，. 故答案为：. 6．现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高也分别为 (其中)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 【答案】未能确定与大小的情况下，取必胜,有1种必胜的方案. 【解析】由条件得, 则 当时， ，当时， 当时， ，当时， 所以未能确定与大小的情况下，取必胜,有1种必胜的方案. 题型三 作商法比较代数式大小 1．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）当，且时，与. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）， 因此，； （2）. ①当时，即，时，，； ②当时，即，时，，. 综上所述，当，且时，. 2．已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】方法一：由题意 ， 因为，，所以，，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号）. 方法二：由 ，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号）. 3．设，试比较与的大小. 【答案】当时两者相等；当时. 【解析】依题意，， 当时，； 当时，： 当时，，所以； 当时，，所以. 故当时，，即. 4．（1）设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小； （2）已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n＞2时比较cn与an＋bn的大小． 【答案】（1）(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)；（2）an＋bn＜cn. 【解析】（1）(x2＋y2)(x－y)-(x2－y2)(x＋y) 因为， 则， 故， 即(x2＋y2)(x－y)-(x2－y2)(x＋y)>0 (x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y). （2）∵a，b，c∈{正实数}，∴an，bn，cn＞0. 而＝