第06讲 相似三角形的性质-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第6讲 相似三角形的性质 知识梳理 1.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2.相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 3.相似三角形性质定理2 相似三角形的周长的比等于相似比． 4.相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 题型探究 题型一、利用相似三角形性质的求解 【例1】求长度、周长、面积 （1）已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，BE、B1E1分别是它们的对应中线，且．求B1E1的长． 【答案】4． 【解析】解：，、分别是对应中线， 即， （2）已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，,的平分线A1D1的长为6，求的平分线的长． 【答案】8． 【解析】解：，、分别是、的平分线， 即，即的平分线的长为8． （3）已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，它们的周长分别为48和60，且，，求BC和A1B1的长． 【答案】． 【解析】解：，； 又，． （4）如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是 ． 【答案】． 【解析】两三角形的相似比为，则周长比为，设大三角形周长为，小三角形周长为，则，所以，所以大三角形的周长为． （5）如图，点D、E分别在的边AB和AC上，DE//BC，，，．求的值． 【答案】36． 【解析】解：，， ，． （6）如图，在中，D是AB上一点，若，，，，求的面积． 【答案】． 【解析】解：，，， ， 又，． （7）（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，点是的重心，过点作，分别交于点，且，求的长． 【答案】4.32cm 【解析】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P． ∵G为△ABC的重心， ∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3， ∵EF过点G且EF∥BC， ∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3． 又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∴． ∴EF=BC 又∵EF+BC＝7.2cm， ∴BC＝4.32cm． （8）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，AB=8，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若DE把△ABC分成了面积相等的两部分，求BD的长． 【答案】BD= 【解析】 解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC ∵△ADE与△ABC的面积的比等于1:2 ∴AD：AB= ∵AB=8∴AD= ∴BD= （9）（重要模型）（2019·上海九年级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm． 【答案】这个正方形零件的边长是48mm． 【解析】 设正方形的边长为x mm， 则AI＝AD﹣x＝80﹣x， ∵EFHG是正方形，∴EF∥GH， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即， 解得x＝48 mm， ∴这个正方形零件的边长是48mm． 【例2】比值 （1）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为______． 【答案】4:3 【解析】解：相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为4:3． 故答案为：4:3． （2）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）两个相似三角形的面积比为1:2，则它们的对应角平分线的比为_______． 【答案】 【解析】解：两个相似三角形的面积比为1:2， 则它们的相似比为：， 则它们的对应角平分线的比为 故答案为： （3）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______． 【答案】5:2 25:4 【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方． 两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4． 故答案为5：2；25：4． （4）（2019·上海市进才中学北校）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是____________ 【答案】 【解析】∵两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4， ∴那么它们的周长之比是1：4．故答案为：1：4． （5）（2020·上海市位育初级中学九年级期中）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2， ∴，A正确； ∴，B错