第05讲 相似三角形的判定（2）-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第5讲 相似三角形的判定（2） 知识梳理 1.相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似（简记SSS）． 如图，在与中，如果，那么∽． 2.直角三角形相似的判定定理;如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似（简记HL）． 如图，在和中，如果，，那么∽． 题型探究 题型一、相似三角形的判定与证明 【例1】（1）如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点．求证：∽． A B C D E F 【答案】证明过程见解析． 【解析】证明 、、分别是边、、的中点， ，，． ， 在与中， ∽（三边对应成比例，两个三角形相似）． （2）如图，在中，，，，，． 求证：∽． A B C D 【答案】证明过程见解析． 【解析】证明 ，，． ，在中，． ，， ， 在中， ，∽（三边对应成比例，两个三角形相似）． （3）如图，在和中，，，垂足为D和，且 ． 求证：∽． 【答案】证明过程见解析． 【解析】证明：，， ． 在中， ， ∴（斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） ∴ 同理可得：． 在中， ， ∴（两角对应相等，两个三角形相似） 举一反三 1.根据下列条件判定与是否相似，如果是，那么用符号表示出来． （1），，，，， （2），，，，，． 【答案】（1）相似，．（2）相似，． 【解析】 （1） 由题意得， 在与中， ∽（三边对应成比例，两个三角形相似）． （2）由题意得， 在与中， ∽（三边对应成比例，两个三角形相似）． 2.如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与． 求证：∽． A B C D E F 【答案】证明过程见解析． 【解析】由图知：，，， ，，． ， ． 3.在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由． （1），； （2），，，； （3），，，； （4），，，． 【答案】（1）相似；（2）相似；（3）不相似；（4）相似. 【解析】（1），两三角形有两组角对应相等，故相似； （2） 两三角形两边对应成比例且夹角相等，故相似； （3） 两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角，故不相似； （4） 斜边和直角边对应成比例，故相似． 4.求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似． 【答案】证明过程见解析． 【解析】已知：如图，、分别是、边、上的中线，且 ．求证：∽． 证明：分别延长、到点． 使得． ． 、分别是、边、上的中线， ． ， ， ． ，． ， ，． 又， ． 题型二、利用相似三角形证线段成比例、求长度、角度等 【例2】（1）（2019·上海市育才初级中学九年级月考）已知的三边长为,的一边长为,若两个三角形相似，则的另两边长不可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设△DEF的另两边长为xcm，ycm， ∵△ABC与△DEF相似， ∴当，解得x=2，y=2.5； 当，解得x=2.5，y=3； 当，解得x=1.6，y=2.4． 故选：D． （2）（2020·全国九年级单元测试）当______时，边长为3、4、6和边长为8、12、的两三角形相似. 【答案】6 【解析】解：当时，两个三角形相似，此时x=6； 又因为，，所以只有当x=6时，边长为3、4、6和边长为6、8、12的两三角形相似. 故答案为：6. （3）（2019·上海市民办嘉一联合中学九年级月考）如图，，动点从向运动，当与相似时，试求的长度． 【答案】或8或12 【解析】解：设BP=x，BD=20，则PD=BD-BP=20-x， 分两种情况考虑： 假设△PAB∽△PCD，有， 又AB=6，CD=16， ∴，即6（20-x）=16x， 解得：； 假设△PAB∽△CPD，有， ∴，即x（20-x）=96， 整理得：（x-12）（x-8）=0， 解得：x1=12，x2=8， 综上，当P离B的距离为或8或12时，△PAB与△PCD是相似三角形． （4）如图，四边形ABCD中，，，，． 求证：． A B C D 【答案】证明过程见解析． 【解析】证明：，，， ． ． 又， ． ． 又， ． ． （5）如图，，，且． 求证：． A B C D 【答案】证明过程见解析． 【解析】证明：，， ． ， ． ． ． （6）已知：如图，在中，，，，点D 在BC边上，且． （1）求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、