专题14 平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）

学科网（北京）股份有限公司 专题14 平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算 专题导航 目录 常考点01 平面向量的概念及线性运算 1 【典例1】 1 【考点总结与提高】 2 【变式演练1】 2 常考点02平面向量基本定理的应用 2 【典例2】 3 【考点总结与提高】 6 【变式演练2】 6 常考点03 平面向量共线的充要条件 7 【典例3】 7 【考点总结与提高】 7 【变式演练3】 8 【冲关突破训练】 8 常考点归纳 常考点01 平面向量的概念及线性运算 【典例1】 1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)在中,为边上的中线，为的中点，则(　　) A． B． C． D． 2.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】1.A 2.A 【解析】1.在中，为边上的中线，为的中点， ，故选A． 2.∵∴−=3(−)；∴=−.故选A. 【考点总结与提高】 平面向量线性运算问题的求解策略： (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果. 【变式演练1】 1．设分别为的三边的中点，则（ ） A． B． C． D． 2.已知正方形的边长为2，为的中点，则＝________． 【答案】1.A 2.2 【解析】1.根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，，同时 ． 2.由题意知： 常考点02平面向量基本定理的应用 【典例2】 1．（2020江苏13）在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是 ． 2．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 (　　) A． B． C． D． 【答案】1. 2.A 【解析】1.由向量系数为常数，结合等和线性质可知， 故，，故，故． 在中，；在中，由正弦定理得， 即． 2.法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图 则，，，，连结，过点作于点 在中，有 即 所以圆的方程为 可设 由可得 所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A． 法二：通过点作于点，由，，可求得 又由，可求得 由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值 又点到的距离与点到直线的距离相等，均为 而此时点到直线的距离为 所以，所以的最大值为，故选A． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A． 法三：如图，建立平面直角坐标系 设 根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是 ，若满足 即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A． 【考点总结与提高】 1.若A、B、C三点共线，且,则 2.中确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 【变式演练2】 1．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则= ． 2．在中，点，满足，，若，则 ； ． 【答案】1.3 2. 【解析】1.由可得，，由=+得，即，两式相加得，，所以，所以． 2.由 =．所以，． 常考点03 平面向量共线的充要条件 【典例3】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则_________． 2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则 ． 【答案】1. 2. 【解析】1.由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：. 故答案为：. 2.依题意可得，又， 所以，解得． 【考点总结与提高】 (1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明