1.3正方形的性质与判定（练习）--2021-2022学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 第三节 正方形的性质与判定 精选练习 一、单选题 1．（2021·福建厦门一中八年级期中）下列命题是真命题的为（　　） A．若一个四边形的四个角的平分线能围成一个矩形，则这个四边形是矩形 B．若顺次连接一个四边形的中点所得的四边形是正方形，则这个四边形也是正方形 C．若一个四边形的四个角的平分线能围成一个正方形，则这个四边形是矩形 D．若一个四边形的四个角的平分线能围成一个正方形，则这个四边形也是正方形 【答案】C 【分析】 利用矩形、正方形的判定方法以及三角形的中位线定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A、若一个四边形的四个角的平分线能围成一个矩形，则这个四边形是平行四边形，不一定是矩形，如图，故A选项错误； B、顺次连接一个四边形的中点所得的四边形是正方形，则这个四边形的对角线相等且互相垂直，但这个四边形不一定是正方形，如图，故B选项错误； C、若一个四边形的四个角的平分线能围成一个正方形，则这个四边形是矩形，如图，故C选项正确； D、若一个四边形的四个角的平分线能围成一个正方形，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查了矩形和正方形的判定、三角形的中位线定理，熟练掌握矩形和正方形的判定是解决本题的关键． 2．（2021·山东八年级期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等 【答案】C 【分析】 根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断． 【详解】 解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对正方形与菱形的性质的理解记忆是解题的关键． 3．（2021·云南八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为12，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE＝7，则△PAE周长的最小值为（　　） A．18 B．19 C．20 D．7+12 【答案】C 【分析】 过点E关于BD的对称点F点，根据正方形的对称性可知点F落在BC上，利用对称的性质以及两点之间线段最短，可知当 时，即点P在AF上，此时AP+PF的值最小，则AP+PE最小，则 周长的最小值，再利用勾股定理求值即可． 【详解】 解：过点E关于BD的对称点F点，根据正方形的对称性可知点F落在BC上．连接AP，PF． ∵四边形ABCD是正方形，即点E和点F关于BD对称， ∴ ， ∴当 ，即点P在AF上，此时AP+PF=AP+PE的值最小， ∴此时 周长的值最小， ∵正方形ABCD的边长为12， AE＝7， ∴ ∴由勾股定理得： ， ∴ 的周长的最小值是 ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的P点的位置是解此题的关键． 4．（2021·山东聊城市·八年级期中）如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为（ ） A．20 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】 易证△FDC≌△EBC，则CF=CE，DF=BE，由两个面积条件知，CD=8及CE=10，由勾股定理可求得BE，从而可求得△CBE的面积． 【详解】 ∵四边形ABCD为正方形，且其面积为64 ∴CD=CB=8，∠D=∠DCB=∠CBE=90゜ ∵CE⊥CF ∴∠FCB+∠BCE=∠FCE=90゜ ∵∠DCF+∠FCB=90゜ ∴∠DCF=∠BCE 在△FDC和△EBC中 ∴△FDC≌△EBC(ASA) ∴CF=CE，DF=BE ∵△CEF的面积为50 ∴ 即 ∴CE=10 在Rt△CBE中，由勾股定理得： ∴ 故选：B． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是证明△FDC≌△EBC得到DF=BE． 5．（2021·重庆巴南区·八年级期中）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且EF垂直于BE，若AB＝8，BE＝10，则ABEF的周长为（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】 设 ，根据勾股定理，求得 ，即可求得ADEF的周长． 【详解】 解：连接 ，由题意可知： 设 ， 在 中， 在 中， 在 中， ，∴ 在 中， ，即 解得 ，即 ， ABEF的周长为 【点睛】 此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 6．（2021·四川内江市·八年级期末）如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 ， 分别在边 和 上，则