专题12 三角函数的图象与性质-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）

学科网（北京）股份有限公司 专题12 三角函数的图像与性质 专题导航 目录 常考点01 三角函数的图像变换 1 【典例1】 1 【考点总结与提高】 2 【变式演练1】 2 常考点02 三角函数的图像性质 3 【典例2】 3 【考点总结与提高】 5 【变式演练2】 5 常考点03 三角函数的性质及其应用 7 【典例3】 7 【考点总结与提高】 8 【变式演练3】 9 【冲关突破训练】 10 常考点归纳 常考点01 三角函数的图像变换 【典例1】 1.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A． B． C． D． 2.(2021年高考全国乙卷理科)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】1.B 2.B 【解析】1.函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为，令，解得，所以所求对称轴的方程为，故选B． 2.解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 【考点总结与提高】 函数图象的平移变换解题策略 （1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 【变式演练1】 1．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是( ) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到. 【答案】1.D 2. 【解析】1.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D． 2.因为，，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到. 常考点02 三角函数的图像性质 【典例2】 1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数的部分图像如图所示，则_________. 2．(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________． 【答案】1. 2.2 【解析】1.由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：. 故答案为：. 2.由图可知，即，所以；由五点法可得，即； 所以． 因为，； 所以由可得或； 因为，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， 解得，令，可得，可得的最小正整数为2． 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2． 故答案为：2． 【考点总结与提高】 结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 （1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则. （2）求ω，已知函数的周期T，则. （3）求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π. 【变式演练2】 1．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 (　　) A． B． C． D． 2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函