专题13 解三角形-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）

学科网（北京）股份有限公司 专题13 解三角形 专题导航 目录 常考点01 正弦定理、余弦定理 1 【典例1】 1 【考点总结与提高】 2 【变式演练1】 3 常考点02 三角形中的几何计算 3 【典例2】 4 【考点总结与提高】 5 【变式演练2】 5 常考点03 解三角形在实际问题中的应用 6 【典例3】 6 【考点总结与提高】 7 【变式演练3】 8 常考点04 解三角形面积有关的问题 9 【典例4】 9 【考点总结与提高】 10 【变式演练4】 10 【冲关突破训练】 11 常考点归纳 常考点01 正弦定理、余弦定理 【典例1】 1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= (　　) A． B． C． D． 2．（2021年上海卷第18题）在中，已知 （1）若，求的面积； （2）若，求的周长. 【答案】1.A 2.（1）；（2） 【解析】1.在中，，， 根据余弦定理： ，可得 ，即 由，故． 故选：A． 2.（1）由已知得， （2） 因为，，， 所以 因为，所以 所以 【考点总结与提高】 利用正、余弦定理求边和角的方法： （1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置． （2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. （3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论： （1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等． （2）三角形中的三角函数关系： ； ； ； . 【变式演练1】 1．的内角的对边分别为，若，，，则 ． 2.的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为. (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】1. 2.（1）；（2） 【解析】1.由平方关系可得： 所以 再由正弦定理得：． 2.（1）由题设得，即 由正弦定理得．故． （2）由题设及（1）得 所以，故．由题设得，即． 由余弦定理得，即，得． 故的周长为． 常考点02 三角形中的几何计算 【典例2】 1.（2021年浙江卷）在中，，，M是BC的中点，，则AC=　 　，　 　． 2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________． 【答案】1.；． 2. 【解析】1.在中，， 法一：在中， 在中， 法二：在中，， 在中， 2.，，，由勾股定理得，同理得，， 在中，，，， 由余弦定理得， ，在中，，，， 由余弦定理得． 故答案为：． 【考点总结与提高】 几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中. 【变式演练2】 1．在平面四边形中，，B，则的取值范围是 ． 2．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍． (Ⅰ)求； (Ⅱ)若，，求和的长． 【答案】1.（，） 2.(1) ;（2）， 【解析】1.如图所示， 延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）． 2.（Ⅰ），，因为，，所以．由正弦定理可得． （Ⅱ）因为，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由（Ⅰ）知，所以． 常考点03 解三角形在实际问题中的应用 【典例3】 1．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() (　　) A．346 B．373 C．446 D．473 2.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____． 【答案】1.B 2.150 【解析】