专题1.16 二次函数与一元二次方程（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题1.16 二次函数与一元二次方程（拓展提高） 一、单选题 1．二次函数 的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）． A． B． C． D．关于 的方程 无实数根 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；x=1时，y＜0，可对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断． 【详解】解：A．∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x=- =-1， ∴b=2a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故A正确； B．∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间， ∴x=1时，y＜0， 即a+b+c＜0， ∵b=2a， ∴3a+c＜0，故B错误； C．∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，故C正确； D．∵抛物线开口向下，顶点为（-1，n）， ∴函数有最大值n， ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点， ∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 2．函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 且 【答案】C 【分析】根据已知条件分两种情况进行讨论即可；得到 即可得解； 【详解】∵函数 的图象与 轴有交点， 当 时， ， 解得： ， 当 时，一次函数 的图象与x轴有交点， 故 ； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，准确分析计算是解题的关键． 3．已知二次函数 （ ， ）的图象经过点 ， ，与x轴交于点 ，点 （点A在点B的左侧）．若 ，则有下列结论：① ， ，② ，③ ．其中正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①将点 ， ， 代入抛物线表达式得： ，由 得： ，求出 、 的表达式，即可求解；② ，则 ，故 ；③由①知， ， ，则右侧交点在 和 之间，即可求解． 【详解】解：①将点 ， ， 代入抛物线表达式得： ， 由 得： ③， 则③ ①得： ，故 ， ① ②得： ， 故①正确，符合题意； ② ， 由③式得： ， 故 ， 故②正确，符合题意； ③由①知， ， ， 则右侧交点在 和 之间， 即 ， 故③正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 4．当 时，二次函数 的图象与x轴所截得的线段长度之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由求根公式求出方程 的两根，再利用数轴上两点间的距离公式可求出此函数的图象与x轴所截得的线段长度表达式，再把n=1，2，…，2020，2021代入表达式，找出规律即可． 【详解】解：解方程 ，得 ， 设题中二次函数的图象与x轴所截得的线段长度为dn， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，解答此题的关键是求出方程的两根利用数轴上两点间的距离公式解答． 5．已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：① 是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值始终互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝3﹣a的解；④若z＝﹣xy+1，则z存在最小值，且最小值为0．其中正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①将x＝2，y＝﹣1代入检验即可做出判断； ②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y＝3来判断； ③将a＝1代入方程求出方程的解，代入方程中检验即可； ④把x，y代入z＝﹣xy+1即可得到结论． 【详解】解：①将x＝2，y＝﹣1代入方程组得： ， 由①得a＝﹣1，由②得a＝﹣3，故①不符合题意； ②解方程 ，得：x＝ ，y＝ ， 所以x+y＝2，故无论a取何值，x，y的值始终互为相反数，故②不符合题意； ③将a＝1代入x+y＝3﹣a代入方程x+y＝2，方程左边＝2右边，是方程的解，故③符合题意； ④ ， ∵ ＞0， ∴z存在最小值，且最小值为0．故④符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 6．对于每个非零自然数n，抛物线 与x轴交于 ， 两点