第三章 3 几何概型-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学必修3同步资源（人教A版）

高中数学 必修三 概率 内容：几何概型 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识总结 1．几何概型的概念 (1)几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的特点 ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． ②每个基本事件出现的可能性相等． 2．几何概型的概率公式： P(A)＝ 3．均匀随机数 (1)均匀随机数的概念 在随机试验中，如果可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数． (2)均匀随机数的产生 ①计算器上产生[0，1]的均匀随机数的函数是RAND函数． ②Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”． (3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 ①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果． ②计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数进行模拟(注意操作步骤)． (4)[a，b]上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b－a)＋a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的． 初试身手 1．下列概率模型中，几何概型的个数为(　　) ①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率； ②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率； ④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率． A．1 B．2　　　　C．3　　　　D．4 2．在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　) A． B． C． D． 3.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为(　　) A． B． C． D． 4．如图AB是圆O的直径，OC⊥AB，假设你在图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________． 题型一：与长度、角度有关的几何概型 [探究问题] 1．几何概型与古典概型的区别是什么？ 2． 解决几何概型问题概率的关键是什么？ 3．“P(A)＝0⇔A是不可能事件”，“P(A)＝1⇔A是必然事件”，这两种说法是否成立？ 【例1】　在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率． 1)．(变条件)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与直线AB交于点M，求AM小于AC的概率． 2)．(变结论)本例条件不变． (1)若求AM不大于AC的概率，结果有无变化？ (2)求AM大于AC的概率． 题型二：与面积、体积有关的几何概型 【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)如图所示，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　) A．p1＝p2　 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3 (2)在区间[－2，2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率； 练1．(1)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　D． (2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________． 题型三：均匀随机数与随机模拟方法 【例3】　利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积． 练2．现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率． 课堂小练 1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何概型的基本事件有无数多个． (　　) (2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关． (　　) (3)随机数只能用计算器或计算机产生． (　　) (4)x是[0，1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数． (　　) 2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘