微专题12 函数与方程-【备战2022年高考】数学复习绕不开的重要微专题

微专题12：函数与方程 1．（2021年天津高考数学试题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【解】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 【点睛】解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 2．（2021年北京市高考数学试题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ②，使得有一个零点； ③，使得有三个零点； ④，使得有三个零点． 以上正确结论得序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 【问题1】函数f(x)满足什么条件，才能保证f(x)在(a，b)上有唯一零点． 提示　f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 【问题2】能否用二分法求任意方程的近似解． 提示　不能．用二分法求方程的近似解应具备两个条件，一是方程对应的函数在零点附近连续不断，二是该零点左、右的函数值异号． 题型1：考查函数的零点的概念 【例1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)若f(x)在(a，b)上连续，且f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上没有零点．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√ 【例2】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是(　　) 答案　C 解析　对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解． 【例3】已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个